Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−3x² + 5x − 1)/(x² + 5x + 7).

f(x) = (−3x² + 5x − 1)/(x² + 5x + 7)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(x² + 1). Найдите f′(2).

f(x) = ln(x² + 1)x = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 3x² − 9x + 4. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ + 3x² − 9x + 4

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 450 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 450 m²€25/m€8/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 780 билетов на спектакль по €25 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 20 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 20 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

780 × €2520 / €1

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x в радианах).

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = x² и y = x.

y = x²y = x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −3

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−3 + 5/x + (−1)/x²)/(1 + 5/x + 7/x²)

Пусть x → ∞

L = −3/1 = −3

Ответ

L = −3

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Первое применение

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Второе применение

1·e^x/2

Подставьте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5

3.Производные

Ответ: f′(2) = 0,8

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x² + 1)

Подставьте

f′(2) = 4/5 = 0,8

Ответ

f′(2) = 0,8

4.Производные

Ответ: x = 1

Производная

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Решите f′(x) = 0

x = −3 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x + 6: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = 1

Ответ

x = 1

5.Оптимизация

Ответ: C = 974,9 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 33x + 7200/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 14400/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(7200/33) = 14,77 m

y = 450/14,77 = 30,47 m

Минимальная стоимость

C = 33·14,77 + 7200/14,77 = €974,9

Ответ

C = €974,9

6.Оптимизация

Ответ: p = 32 €

Выручка как функция цены

n(p) = 1280 − 20p

R(p) = 1280p − 20p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −40 < 0, поэтому это максимум.

p = 1280/40 = €32

Максимальная выручка

n = 1280 − 20·32 = 640

R = 32·640 = €20480

Ответ

p = €32

7.Интегралы

Ответ: I = 1

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

Ответ

I = 1

8.Интегралы

Ответ: A = 0,1667

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

x² = x → x = 0, x = 1

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Ответ

A = 0,1667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1