Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (1 − 1/x)x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 − 1/x)xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(5x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(5x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 3

Пусть f(x) = ln(x2 + 2). Найдите f′(3).

f(x) = ln(x2 + 2)x = 3
f′(3) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 + 3x2 − 4. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x3 + 3x2 − 4
x =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €30/m€12/myyx

Прямоугольный участок площадью 800 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €12 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 800 m²€30/m€12/m
C = €
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 110 − 1q евро за единицу, а затраты C(q) = 500 + 25q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 110 − 1qC = 500 + 25q
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy14y = x ln x

Вычислите I = ∫₁4 x·ln x dx.

∫₁4 x ln x dx
I =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 0,5x2​y = 2x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x2 и y = 2x.

y = 0,5x2y = 2x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,3679

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = limx→∞ x·ln(1 − 1/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−1) = −1

Избавьтесь от логарифма

L = e−1 = 0,3679

Ответ

L = 0,3679
2.Пределы

Ответ: L = 0,8

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [4/(1 + 4x)]/[5·cos 5x]

Подставьте x = 0

L = 4/5 = 0,8

Ответ

L = 0,8
3.Производные

Ответ: f′(3) = 0,5455

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x2 + 2)

Подставьте

f′(3) = 6/11 = 0,5455

Ответ

f′(3) = 0,5455
4.Производные

Ответ: x = −2

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 + 6x = 3·(x2 + 2x)

Решите f′(x) = 0

x = −2 или x = 0

Что есть что

f″(x) = 6x + 6: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−2) = −6, f″(0) = 6
x = −2

Ответ

x = −2
5.Оптимизация

Ответ: C = 1796 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 42x + 19200/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 38400/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(19200/42) = 21,38 m
y = 800/21,38 = 37,42 m

Минимальная стоимость

C = 42·21,38 + 19200/21,38 = €1796

Ответ

C = €1796
6.Оптимизация

Ответ: p = 67,5 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (110 − 1q)·q − (500 + 25q) = −q2 + 85q − 500

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −2 < 0, поэтому это максимум.

q = 85/2 = 42,5

Цена и прибыль

p = 110 − 1·42,5 = €67,5
P = 85·42,5 − 1·42,5² − 500 = €1306

Ответ

p = €67,5
7.Интегралы

Ответ: I = 7,34

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Ответ

I = 7,34
8.Интегралы

Ответ: A = 5,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x2 = 2x → x = 0, x = 4

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [x2 − 0,1667x3]04 = 5,333

Ответ

A = 5,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1