Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(4x2 + 3x) − 2x).

f(x) = √(4x2 + 3x) − 2xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 3

Пусть f(x) = ln(x2 + 5). Найдите f′(3).

f(x) = ln(x2 + 5)x = 3
f′(3) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 + 6x2 + 9x − 3. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 + 6x2 + 9x − 3
x =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 1000 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 1000 cm³
A = cm²
6.ОптимизацияСложная
p (€)R(p)15сейчас

Театр продаёт 1200 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

1200 × €1550 / €1
R = €
7.ИнтегралыСредняя
xy26

Вычислите I = ∫26 2/x dx.

f(x) = 2/x[2, 6]
I =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 0,5x2​y = x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x2 и y = x.

y = 0,5x2y = x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,75

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 3x/(√(4x2 + 3x) + 2x)

Разделите на x

f(x) = 3/(√(4 + 3/x) + 2)

Пусть x → ∞

L = 3/(2 + 2) = 0,75

Ответ

L = 0,75
2.Пределы

Ответ: L = 1,125

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(1,5·e1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

2,25·e1,5x/2

Подставьте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Ответ

L = 1,125
3.Производные

Ответ: f′(3) = 0,4286

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x2 + 5)

Подставьте

f′(3) = 6/14 = 0,4286

Ответ

f′(3) = 0,4286
4.Производные

Ответ: x = −1

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 + 12x + 9 = 3·(x2 + 4x + 3)

Решите f′(x) = 0

x = −3 или x = −1

Что есть что

f″(x) = 6x + 12: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6
x = −1

Ответ

x = −1
5.Оптимизация

Ответ: A = 553,6 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 1000/(πr²)
A(r) = 2πr² + 2000/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5,419 cm

Высота и площадь

h = 1000/(π·5,419²) = 2r = 10,84 cm
A = 2π·5,419² + 2000/5,419 = 553,6 cm²

Ответ

A = 553,6 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: R = 19013 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Выручка как функция цены

n(p) = 1950 − 50p
R(p) = 1950p − 50p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −100 < 0, поэтому это максимум.

p = 1950/100 = €19,5

Максимальная выручка

n = 1950 − 50·19,5 = 975
R = 19,5·975 = €19013

Ответ

R = €19013
7.Интегралы

Ответ: I = 2,197

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 2·ln x

Подставьте пределы

I = 2·(ln 6 − ln 2) = 2·ln 3 = 2,197

Ответ

I = 2,197
8.Интегралы

Ответ: A = 0,6667

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x2 = x → x = 0, x = 2

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x2 − 0,1667x3]02 = 0,6667

Ответ

A = 0,6667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1