Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(9x² − 9x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 9x) − 3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^−0,5x − 1 + 0,5x)/x².

f(x) = (e^−0,5x − 1 + 0,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (2x + 3)⁴. Найдите f′(−1).

f(x) = (2x + 3)⁴x = −1

f′(−1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² + x в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² + xx = −1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 355 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 355 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €50 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 400 + 12q + 0,5q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €50C = 400 + 12q + 0,5q²

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = 2x от x = 0 до x = 3 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 2x0 ≤ x ≤ 3

V =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x² и y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −9x/(√(9x² − 9x) + 3x)

Разделите на x

f(x) = −9/(√(9 + (−9)/x) + 3)

Пусть x → ∞

L = −9/(3 + 3) = −1,5

Ответ

L = −1,5

2.Пределы

Ответ: L = 0,125

Первое применение

(−0,5·e^−0,5x + 0,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

0,25·e^−0,5x/2

Подставьте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Ответ

L = 0,125

3.Производные

Ответ: f′(−1) = 8

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 4·(2x + 3)³·2

Подставьте

f′(−1) = 4·1³·2 = 8

Ответ

f′(−1) = 8

4.Производные

Ответ: b = −2

Точка и наклон

f(−1) = 1

f′(x) = 4x + 1 → f′(−1) = −3

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − (−3)·(−1) = −2

Ответ

b = −2

5.Оптимизация

Ответ: h = 7,674 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Высота и площадь

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm

A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Ответ

h = 7,674 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: P = 322 €

Функция прибыли

P(q) = 50q − (400 + 12q + 0,5q²) = −0,5q² + 38q − 400

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −1 < 0, поэтому это максимум.

38 − 1q = 0 → q = 38

Максимальная прибыль

P = 38·38 − 0,5·38² − 400 = €322

Ответ

P = €322

7.Интегралы

Ответ: V = 113,1

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀³ 4x² dx

Интегрируйте

V = π·4·3³/3 = 113,1

Ответ

V = 113,1

Проверка: конус с радиусом 6 и высотой 3 имеет (1/3)πr²h = 113,1.

8.Интегралы

Ответ: A = 5,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Ответ

A = 5,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1