Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−5x² − 4x − 4)/(5x² + 3x + 9).

f(x) = (−5x² − 4x − 4)/(5x² + 3x + 9)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x²·e^x. Найдите f′(2).

f(x) = x²·e^xx = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 6. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 6

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 600 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 600 m²€25/m€8/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 440 билетов на спектакль по €25 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

440 × €2510 / €1

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁⁴ x·ln x dx.

∫₁⁴ x ln x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 3x и параболой y = x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 3xy = x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−5 + (−4)/x + (−4)/x²)/(5 + 3/x + 9/x²)

Пусть x → ∞

L = −5/5 = −1

Ответ

L = −1

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Первое применение

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

Второе применение

1·e^−x/2

Подставьте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5

3.Производные

Ответ: f′(2) = 59,11

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

Подставьте

f′(2) = 7,389·(4 + 4) = 59,11

Ответ

f′(2) = 59,11

4.Производные

Ответ: x = 2

Производная

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

Решите f′(x) = 0

x = 1 или x = 2

Что есть что

f″(x) = 6x − 9: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 2

Ответ

x = 2

5.Оптимизация

Ответ: C = 1126 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 33x + 9600/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 19200/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(9600/33) = 17,06 m

y = 600/17,06 = 35,18 m

Минимальная стоимость

C = 33·17,06 + 9600/17,06 = €1126

Ответ

C = €1126

6.Оптимизация

Ответ: p = 34,5 €

Выручка как функция цены

n(p) = 690 − 10p

R(p) = 690p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 690/20 = €34,5

Максимальная выручка

n = 690 − 10·34,5 = 345

R = 34,5·345 = €11903

Ответ

p = €34,5

7.Интегралы

Ответ: I = 7,34

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Ответ

I = 7,34

8.Интегралы

Ответ: V = 101,8

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

3x = 1x² → x = 0, x = 3

Метод колец (шайб)

V = π∫₀³ ((3x)² − (1x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32,4 = 101,8

Ответ

V = 101,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1