Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^2x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 2/x)^2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^2x. Найдите f′(1).

f(x) = x·e^2xx = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 7,5x² + 18x + 5. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ − 7,5x² + 18x + 5

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 355 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 355 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 440 билетов на спектакль по €20 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

440 × €2010 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₂⁸ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 8]

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 4x и параболой y = x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 4xy = x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 54,6

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 2/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·2 = 4

Избавьтесь от логарифма

L = e⁴ = 54,6

Ответ

L = 54,6

2.Пределы

Ответ: L = 4,5

Первое применение

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Второе применение

9·e^3x/2

Подставьте x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Ответ

L = 4,5

3.Производные

Ответ: f′(1) = 22,17

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Подставьте

f′(1) = 7,389·(1 + 2) = 22,17

Ответ

f′(1) = 22,17

4.Производные

Ответ: x = 2

Производная

f′(x) = 3x² − 15x + 18 = 3·(x² − 5x + 6)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 3

Что есть что

f″(x) = 6x − 15: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −3, f″(3) = 3

x = 2

Ответ

x = 2

5.Оптимизация

Ответ: h = 7,674 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Высота и площадь

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm

A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Ответ

h = 7,674 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: R = 10240 €

Выручка как функция цены

n(p) = 640 − 10p

R(p) = 640p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 640/20 = €32

Максимальная выручка

n = 640 − 10·32 = 320

R = 32·320 = €10240

Ответ

R = €10240

7.Интегралы

Ответ: I = 5,545

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 4·ln x

Подставьте пределы

I = 4·(ln 8 − ln 2) = 4·ln 4 = 5,545

Ответ

I = 5,545

8.Интегралы

Ответ: V = 428,9

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

4x = 1x² → x = 0, x = 4

Метод колец (шайб)

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136,5 = 428,9

Ответ

V = 428,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1