Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² − 8x) − x).

f(x) = √(x² − 8x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x².

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x³·e^x. Найдите f′(2).

f(x) = x³·e^xx = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = x² − 5x − 6 в точке x = 3 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x² − 5x − 6x = 3

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 400 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 400 m²€25/m€8/m

x = m

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €75 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 19500 + 24q + 0,01q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €75C = 19500 + 24q + 0,01q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 6x и параболой y = 3x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 6xy = 3x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −8x/(√(x² − 8x) + x)

Разделите на x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

Ответ

L = −4

2.Пределы

Ответ: L = 2

Первое применение

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

Второе применение

4·e^−2x/2

Подставьте x = 0

L = 4·1/2 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(2) = 147,8

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

Подставьте

f′(2) = 7,389·(12 + 8) = 147,8

Ответ

f′(2) = 147,8

4.Производные

Ответ: b = −15

Точка и наклон

f(3) = −12

f′(x) = 2x − 5 → f′(3) = 1

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −12 − 1·3 = −15

Ответ

b = −15

5.Оптимизация

Ответ: x = 13,93 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 33x + 6400/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 12800/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(6400/33) = 13,93 m

y = 400/13,93 = 28,72 m

Минимальная стоимость

C = 33·13,93 + 6400/13,93 = €919,1

Ответ

x = 13,93 m

6.Оптимизация

Ответ: q = 2550 ед.

Функция прибыли

P(q) = 75q − (19500 + 24q + 0,01q²) = −0,01q² + 51q − 19500

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,02 < 0, поэтому это максимум.

51 − 0,02q = 0 → q = 2550

Максимальная прибыль

P = 51·2550 − 0,01·2550² − 19500 = €45525

Ответ

q = 2550

7.Интегралы

Ответ: I = 1,5

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Ответ

I = 1,5

8.Интегралы

Ответ: V = 120,6

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

6x = 3x² → x = 0, x = 2

Метод колец (шайб)

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6

Ответ

V = 120,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1