Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 + 0,5/x)^2x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 0,5/x)^2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^x. Найдите f′(1).

f(x) = x·e^xx = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 4,5x² − 6. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ + 4,5x² − 6

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 450 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 450 m²€25/m€10/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 240 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

240 × €1510 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ x·sin x dx (x в радианах).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 2,718

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 0,5/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·0,5 = 1

Избавьтесь от логарифма

L = e¹ = 2,718

Ответ

L = 2,718

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Первое применение

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Второе применение

1·e^x/2

Подставьте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5

3.Производные

Ответ: f′(1) = 5,437

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

Подставьте

f′(1) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Ответ

f′(1) = 5,437

4.Производные

Ответ: x = −3

Производная

f′(x) = 3x² + 9x = 3·(x² + 3x)

Решите f′(x) = 0

x = −3 или x = 0

Что есть что

f″(x) = 6x + 9: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−3) = −9, f″(0) = 9

x = −3

Ответ

x = −3

5.Оптимизация

Ответ: C = 1122 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 35x + 9000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 18000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(9000/35) = 16,04 m

y = 450/16,04 = 28,06 m

Минимальная стоимость

C = 35·16,04 + 9000/16,04 = €1122

Ответ

C = €1122

6.Оптимизация

Ответ: R = 3803 €

Выручка как функция цены

n(p) = 390 − 10p

R(p) = 390p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 390/20 = €19,5

Максимальная выручка

n = 390 − 10·19,5 = 195

R = 19,5·195 = €3803

Ответ

R = €3803

7.Интегралы

Ответ: I = 0,3012

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Ответ

I = 0,3012

8.Интегралы

Ответ: I = 3,602

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Ответ

I = 3,602

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1