Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (1 − 1/x)3x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 − 1/x)3xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 5x)/(3x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 1,5

Пусть f(x) = x3·e−0,5x. Найдите f′(1,5).

f(x) = x3·e−0,5xx = 1,5
f′(1.5) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 1,5x2 + 5. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 1,5x2 + 5
x =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 62500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

V = 62500 cm³
S = cm²
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 110 − 0,5q евро за единицу, а затраты C(q) = 1200 + 40q евро. Найдите максимальную недельную прибыль P.

p = 110 − 0,5qC = 1200 + 40q
P = €
7.ИнтегралыСредняя
xy3y = 0,5x

Область под y = 0,5x от x = 0 до x = 3 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3
V =
8.ИнтегралыСложная
xyy = x2​y = 3x

Найдите площадь A области, ограниченной y = x2 и y = 3x.

y = x2y = 3x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,04979

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−1) = −3

Избавьтесь от логарифма

L = e−3 = 0,04979

Ответ

L = 0,04979
2.Пределы

Ответ: L = 4,167

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

5·sin 5x/(6x) → 0/0

Второе применение

25·cos 5x/6

Подставьте x = 0

L = 25/6 = 4,167

Ответ

L = 4,167
3.Производные

Ответ: f′(1.5) = 2,391

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e−0,5x·(3x2 + (−0,5)·x3)

Подставьте

f′(1,5) = 0,4724·(6,75 + (−1,688)) = 2,391

Ответ

f′(1,5) = 2,391
4.Производные

Ответ: x = 1

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 3x = 3·(x2 − x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x − 3: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −3, f″(1) = 3
x = 1

Ответ

x = 1
5.Оптимизация

Ответ: S = 7500 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 250000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Высота и площадь

h = 62500/50² = 25 cm
S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Ответ

S = 7500 cm²

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: P = 1250 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (110 − 0,5q)·q − (1200 + 40q) = −0,5q2 + 70q − 1200

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −1 < 0, поэтому это максимум.

q = 70/1 = 70

Цена и прибыль

p = 110 − 0,5·70 = €75
P = 70·70 − 0,5·70² − 1200 = €1250

Ответ

P = €1250
7.Интегралы

Ответ: V = 7,069

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀3 0,25x² dx

Интегрируйте

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Ответ

V = 7,069

Проверка: конус с радиусом 1,5 и высотой 3 имеет (1/3)πr²h = 7,069.

8.Интегралы

Ответ: A = 4,5

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

x2 = 3x → x = 0, x = 3

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x2 − 0,3333x3]03 = 4,5

Ответ

A = 4,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1