Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (3x³ − 5)/(3x³ + x + 8).

f(x) = (3x³ − 5)/(3x³ + x + 8)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^x. Найдите f′(1,5).

f(x) = x·e^xx = 1,5

f′(1.5) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 13,5x² + 54x − 3. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 13,5x² + 54x − 3

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 355 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

V = 355 cm³

r = cm

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 130 − 2q евро за единицу, а затраты C(q) = 300 + 35q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 130 − 2qC = 300 + 35q

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₂⁶ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 6]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = x.

y = 2x²y = x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(3 + (−5)/x³)/(3 + 1/x² + 8/x³)

Пусть x → ∞

L = 3/3 = 1

Ответ

L = 1

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Первое применение

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Второе применение

4·cos 2x/8

Подставьте x = 0

L = 4/8 = 0,5

Ответ

L = 0,5

3.Производные

Ответ: f′(1.5) = 11,2

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

Подставьте

f′(1,5) = 4,482·(1 + 1,5) = 11,2

Ответ

f′(1,5) = 11,2

4.Производные

Ответ: x = 6

Производная

f′(x) = 3x² − 27x + 54 = 3·(x² − 9x + 18)

Решите f′(x) = 0

x = 3 или x = 6

Что есть что

f″(x) = 6x − 27: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(3) = −9, f″(6) = 9

x = 6

Ответ

x = 6

5.Оптимизация

Ответ: r = 3,837 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Высота и площадь

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm

A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Ответ

r = 3,837 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 82,5 €

Функция прибыли

P(q) = (130 − 2q)·q − (300 + 35q) = −2q² + 95q − 300

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −4 < 0, поэтому это максимум.

q = 95/4 = 23,75

Цена и прибыль

p = 130 − 2·23,75 = €82,5

P = 95·23,75 − 2·23,75² − 300 = €828,1

Ответ

p = €82,5

7.Интегралы

Ответ: I = 1,099

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = ln x

Подставьте пределы

I = (ln 6 − ln 2) = ln 3 = 1,099

Ответ

I = 1,099

8.Интегралы

Ответ: A = 0,04167

Точки пересечения

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Ответ

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1