Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (x3 + x − 5)/(3x3 + 3x + 6).

f(x) = (x3 + x − 5)/(3x3 + 3x + 6)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 4x)/(3x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = −1

Пусть f(x) = ln(x2 + 5). Найдите f′(−1).

f(x) = ln(x2 + 5)x = −1
f′(−1) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 12x2 + 36x + 5. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 12x2 + 36x + 5
x =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €30/m€5/myyx

Прямоугольный участок площадью 450 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 450 m²€30/m€5/m
C = €
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 70 − 2q евро за единицу, а затраты C(q) = 100 + 30q евро. Найдите максимальную недельную прибыль P.

p = 70 − 2qC = 100 + 30q
P = €
7.ИнтегралыСредняя
xy02

Вычислите I = ∫02 e2x dx.

f(x) = e2x[0, 2]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy−33

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,3333

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(1 + 1/x2 + (−5)/x3)/(3 + 3/x2 + 6/x3)

Пусть x → ∞

L = 1/3 = 0,3333

Ответ

L = 0,3333

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 2,667

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

4·sin 4x/(6x) → 0/0

Второе применение

16·cos 4x/6

Подставьте x = 0

L = 16/6 = 2,667

Ответ

L = 2,667
3.Производные

Ответ: f′(−1) = −0,3333

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x2 + 5)

Подставьте

f′(−1) = −2/6 = −0,3333

Ответ

f′(−1) = −0,3333
4.Производные

Ответ: x = 6

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 24x + 36 = 3·(x2 − 8x + 12)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 6

Что есть что

f″(x) = 6x − 24: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −12, f″(6) = 12
x = 6

Ответ

x = 6
5.Оптимизация

Ответ: C = 793,7 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 35x + 4500/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 9000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(4500/35) = 11,34 m
y = 450/11,34 = 39,69 m

Минимальная стоимость

C = 35·11,34 + 4500/11,34 = €793,7

Ответ

C = €793,7
6.Оптимизация

Ответ: P = 100 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (70 − 2q)·q − (100 + 30q) = −2q2 + 40q − 100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −4 < 0, поэтому это максимум.

q = 40/4 = 10

Цена и прибыль

p = 70 − 2·10 = €50
P = 40·10 − 2·10² − 100 = €100

Ответ

P = €100
7.Интегралы

Ответ: I = 26,8

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e2x/2

Подставьте пределы

I = (e4 − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

Ответ

I = 26,8
8.Интегралы

Ответ: A = 36

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1