Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (−3x3 + 6x + 9)/(5x3 + 5x + 4).

f(x) = (−3x3 + 6x + 9)/(5x3 + 5x + 4)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + 5x)/sin(x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 2

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad
f′(2) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 + 3x2 − 9x + 4. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 + 3x2 − 9x + 4
x =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €40/m€12/myyx

Прямоугольный участок площадью 1200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €40 за метр, остальные три стороны — €12 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 1200 m²€40/m€12/m
C = €
6.ОптимизацияСложная
p (€)R(p)20сейчас

Театр продаёт 1000 билетов на спектакль по €20 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 25 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 25 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

1000 × €2025 / €1
R = €
7.ИнтегралыСредняя
xy3y = 2x

Область под y = 2x от x = 0 до x = 3 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 2x0 ≤ x ≤ 3
V =
8.ИнтегралыСложная
xy4y = 4xy = x²

Область между прямой y = 4x и параболой y = x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 4xy = x²
V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −0,6

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−3 + 6/x2 + 9/x3)/(5 + 5/x2 + 4/x3)

Пусть x → ∞

L = −3/5 = −0,6

Ответ

L = −0,6

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [5/(1 + 5x)]/[cos x]

Подставьте x = 0

L = 5/1 = 5

Ответ

L = 5
3.Производные

Ответ: f′(2) = −3,371

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Ответ

f′(2) = −3,371
4.Производные

Ответ: x = 1

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 + 6x − 9 = 3·(x2 + 2x − 3)

Решите f′(x) = 0

x = −3 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x + 6: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12
x = 1

Ответ

x = 1
5.Оптимизация

Ответ: C = 2448 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 52x + 28800/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 57600/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(28800/52) = 23,53 m
y = 1200/23,53 = 50,99 m

Минимальная стоимость

C = 52·23,53 + 28800/23,53 = €2448

Ответ

C = €2448
6.Оптимизация

Ответ: R = 22500 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Выручка как функция цены

n(p) = 1500 − 25p
R(p) = 1500p − 25p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −50 < 0, поэтому это максимум.

p = 1500/50 = €30

Максимальная выручка

n = 1500 − 25·30 = 750
R = 30·750 = €22500

Ответ

R = €22500
7.Интегралы

Ответ: V = 113,1

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀3 4x² dx

Интегрируйте

V = π·4·3³/3 = 113,1

Ответ

V = 113,1

Проверка: конус с радиусом 6 и высотой 3 имеет (1/3)πr²h = 113,1.

8.Интегралы

Ответ: V = 428,9

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

4x = 1x² → x = 0, x = 4

Метод колец (шайб)

V = π∫₀4 ((4x)² − (1x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136,5 = 428,9

Ответ

V = 428,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1