Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (5x2 − 6x − 9)/(x2 + 6x + 8).

f(x) = (5x2 − 6x − 9)/(x2 + 6x + 8)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 0,5

Пусть f(x) = x·sin(x), x в радианах. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = 2

Касательная к f(x) = x2 в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x2x = 2
b =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €15/m€8/myyx

Прямоугольный участок площадью 400 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €15 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 400 m²€15/m€8/m
C = €
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €40 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 300 + 8q + 0,2q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €40C = 300 + 8q + 0,2q²
P = €
7.ИнтегралыСредняя
xy3y = 0,5x

Область под y = 0,5x от x = 0 до x = 3 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3
V =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 2x2​y = x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x2 и y = x.

y = 2x2y = x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(5 + (−6)/x + (−9)/x2)/(1 + 6/x + 8/x2)

Пусть x → ∞

L = 5/1 = 5

Ответ

L = 5

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0

Второе применение

1·e−x/2

Подставьте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5
3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 0,9182

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Подставьте

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

Ответ

f′(0,5) = 0,9182
4.Производные

Ответ: b = −4

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(2) = 4
f′(x) = 2x → f′(2) = 4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − 4·2 = −4

Ответ

b = −4
5.Оптимизация

Ответ: C = 767,3 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 23x + 6400/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 12800/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(6400/23) = 16,68 m
y = 400/16,68 = 23,98 m

Минимальная стоимость

C = 23·16,68 + 6400/16,68 = €767,3

Ответ

C = €767,3
6.Оптимизация

Ответ: P = 980 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = 40q − (300 + 8q + 0,2q²) = −0,2q2 + 32q − 300

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,4 < 0, поэтому это максимум.

32 − 0,4q = 0 → q = 80

Максимальная прибыль

P = 32·80 − 0,2·80² − 300 = €980

Ответ

P = €980
7.Интегралы

Ответ: V = 7,069

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀3 0,25x² dx

Интегрируйте

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Ответ

V = 7,069

Проверка: конус с радиусом 1,5 и высотой 3 имеет (1/3)πr²h = 7,069.

8.Интегралы

Ответ: A = 0,04167

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Ответ

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1