Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−3x³ − 5x − 9)/(3x³ + 2x + 7).

f(x) = (−3x³ − 5x − 9)/(3x³ + 2x + 7)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(2x² + 4). Найдите f′(−2).

f(x) = ln(2x² + 4)x = −2

f′(−2) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 6x² + 9x − 2. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 6x² + 9x − 2

x =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 500 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €25 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 1300 + 12q + 0,01q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €25C = 1300 + 12q + 0,01q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀^2,5 x²·eˣ dx.

∫₀^2,5 x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−3 + (−5)/x² + (−9)/x³)/(3 + 2/x² + 7/x³)

Пусть x → ∞

L = −3/3 = −1

Ответ

L = −1

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 3

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

Подставьте x = 0

L = 3/1 = 3

Ответ

L = 3

3.Производные

Ответ: f′(−2) = −0,6667

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 4)

Подставьте

f′(−2) = −8/12 = −0,6667

Ответ

f′(−2) = −0,6667

4.Производные

Ответ: x = 3

Производная

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

Решите f′(x) = 0

x = 1 или x = 3

Что есть что

f″(x) = 6x − 12: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 3

Ответ

x = 3

5.Оптимизация

Ответ: h = 5 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 2000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Высота и площадь

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Ответ

h = 5 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: q = 650 ед.

Функция прибыли

P(q) = 25q − (1300 + 12q + 0,01q²) = −0,01q² + 13q − 1300

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,02 < 0, поэтому это максимум.

13 − 0,02q = 0 → q = 650

Максимальная прибыль

P = 13·650 − 0,01·650² − 1300 = €2925

Ответ

q = 650

7.Интегралы

Ответ: I = 1,5

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Ответ

I = 1,5

8.Интегралы

Ответ: I = 37,59

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Ответ

I = 37,59

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1