Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^2x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 3/x)^2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^−0,5x − 1 + 0,5x)/x².

f(x) = (e^−0,5x − 1 + 0,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (4x − 3)³. Найдите f′(1).

f(x) = (4x − 3)³x = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 0,5x² + x + 6 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x² + x + 6x = −2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 32000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 32000 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €50 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 4900 + 32q + 0,01q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €50C = 4900 + 32q + 0,01q²

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ x·cos x dx (x в радианах).

∫₀¹ x·cos x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = 4x.

y = 2x²y = 4x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 403,4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 3/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·3 = 6

Избавьтесь от логарифма

L = e⁶ = 403,4

Ответ

L = 403,4

2.Пределы

Ответ: L = 0,125

Первое применение

(−0,5·e^−0,5x + 0,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

0,25·e^−0,5x/2

Подставьте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Ответ

L = 0,125

3.Производные

Ответ: f′(1) = 12

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(4x − 3)²·4

Подставьте

f′(1) = 3·1²·4 = 12

Ответ

f′(1) = 12

4.Производные

Ответ: b = 4

Точка и наклон

f(−2) = 6

f′(x) = x + 1 → f′(−2) = −1

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − (−1)·(−2) = 4

Ответ

b = 4

5.Оптимизация

Ответ: h = 20 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 128000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Высота и площадь

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Ответ

h = 20 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: P = 3200 €

Функция прибыли

P(q) = 50q − (4900 + 32q + 0,01q²) = −0,01q² + 18q − 4900

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,02 < 0, поэтому это максимум.

18 − 0,02q = 0 → q = 900

Максимальная прибыль

P = 18·900 − 0,01·900² − 4900 = €3200

Ответ

P = €3200

7.Интегралы

Ответ: I = 0,3818

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0,3818

Ответ

I = 0,3818

8.Интегралы

Ответ: A = 2,667

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x² = 4x → x = 0, x = 2

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [2x² − 0,6667x³]₀² = 2,667

Ответ

A = 2,667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1