Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 − 6x) − x).

f(x) = √(x2 − 6x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 2x)/(4x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 0,5

Пусть f(x) = x2·e2x. Найдите f′(0,5).

f(x) = x2·e2xx = 0,5
f′(0.5) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = 2

Касательная к f(x) = 3x2 + 5x в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 3x2 + 5xx = 2
b =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 108000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

V = 108000 cm³
S = cm²
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 140 − 1q евро за единицу, а затраты C(q) = 1100 + 45q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 140 − 1qC = 1100 + 45q
q = ед.
7.ИнтегралыСредняя
xy14

Вычислите I = ∫14 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 4]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy1,5y = x²eˣ

Вычислите I = ∫₀1,5 x²·eˣ dx.

∫₀1,5 x²eˣ dx
I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −3

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −6x/(√(x2 − 6x) + x)

Разделите на x

f(x) = −6/(√(1 + (−6)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −6/(1 + 1) = −3

Ответ

L = −3
2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Второе применение

4·cos 2x/8

Подставьте x = 0

L = 4/8 = 0,5

Ответ

L = 0,5
3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 4,077

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e2x·(2x + 2·x2)

Подставьте

f′(0,5) = 2,718·(1 + 0,5) = 4,077

Ответ

f′(0,5) = 4,077
4.Производные

Ответ: b = −12

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(2) = 22
f′(x) = 6x + 5 → f′(2) = 17

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 22 − 17·2 = −12

Ответ

b = −12
5.Оптимизация

Ответ: S = 10800 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 432000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Высота и площадь

h = 108000/60² = 30 cm
S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Ответ

S = 10800 cm²

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: q = 47,5 ед.

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (140 − 1q)·q − (1100 + 45q) = −q2 + 95q − 1100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −2 < 0, поэтому это максимум.

q = 95/2 = 47,5

Цена и прибыль

p = 140 − 1·47,5 = €92,5
P = 95·47,5 − 1·47,5² − 1100 = €1156

Ответ

q = 47,5
7.Интегралы

Ответ: I = 6,931

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 5·ln x

Подставьте пределы

I = 5·(ln 4 − ln 1) = 5·ln 4 = 6,931

Ответ

I = 6,931
8.Интегралы

Ответ: I = 3,602

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Ответ

I = 3,602

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1