Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² − 8x) − x).

f(x) = √(x² − 8x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x².

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x³·e^−0,5x. Найдите f′(2).

f(x) = x³·e^−0,5xx = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 3x + 3. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 3x + 3

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 1200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €20 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 1200 m²€20/m€5/m

x = m

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 150 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 3400 + 75q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 150 − 0,25qC = 3400 + 75q

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² x·sin x dx (x в радианах).

∫₀² x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = x² и y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −8x/(√(x² − 8x) + x)

Разделите на x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

Ответ

L = −4

2.Пределы

Ответ: L = 2

Первое применение

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

Второе применение

4·e^−2x/2

Подставьте x = 0

L = 4·1/2 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(2) = 2,943

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(3x² + (−0,5)·x³)

Подставьте

f′(2) = 0,3679·(12 + (−4)) = 2,943

Ответ

f′(2) = 2,943

4.Производные

Ответ: x = 1

Производная

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Решите f′(x) = 0

x = −1 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = 1

Ответ

x = 1

5.Оптимизация

Ответ: x = 21,91 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 25x + 12000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 24000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(12000/25) = 21,91 m

y = 1200/21,91 = 54,77 m

Минимальная стоимость

C = 25·21,91 + 12000/21,91 = €1095

Ответ

x = 21,91 m

6.Оптимизация

Ответ: q = 150 ед.

Функция прибыли

P(q) = (150 − 0,25q)·q − (3400 + 75q) = −0,25q² + 75q − 3400

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 75/0,5 = 150

Цена и прибыль

p = 150 − 0,25·150 = €112,5

P = 75·150 − 0,25·150² − 3400 = €2225

Ответ

q = 150

7.Интегралы

Ответ: I = 1,742

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742

Ответ

I = 1,742

8.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

x² = 4x → x = 0, x = 4

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Ответ

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1