Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(4x² − 6x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 6x) − 2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (−2x + 1)³. Найдите f′(0).

f(x) = (−2x + 1)³x = 0

f′(0) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 3x − 5. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ − 3x − 5

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 330 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 330 cm³

A = cm²

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €70 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 1400 + 32q + 0,1q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €70C = 1400 + 32q + 0,1q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = x и параболой y = x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = xy = x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −6x/(√(4x² − 6x) + 2x)

Разделите на x

f(x) = −6/(√(4 + (−6)/x) + 2)

Пусть x → ∞

L = −6/(2 + 2) = −1,5

Ответ

L = −1,5

2.Пределы

Ответ: L = 2

Первое применение

2·sin 2x/(2x) → 0/0

Второе применение

4·cos 2x/2

Подставьте x = 0

L = 4/2 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(0) = −6

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(−2x + 1)²·(−2)

Подставьте

f′(0) = 3·1²·(−2) = −6

Ответ

f′(0) = −6

4.Производные

Ответ: x = −1

Производная

f′(x) = 3x² − 3 = 3·(x² − 1)

Решите f′(x) = 0

x = −1 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−1) = −6, f″(1) = 6

x = −1

Ответ

x = −1

5.Оптимизация

Ответ: A = 264,4 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3,745 cm

Высота и площадь

h = 330/(π·3,745²) = 2r = 7,49 cm

A = 2π·3,745² + 660/3,745 = 264,4 cm²

Ответ

A = 264,4 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: q = 190 ед.

Функция прибыли

P(q) = 70q − (1400 + 32q + 0,1q²) = −0,1q² + 38q − 1400

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

38 − 0,2q = 0 → q = 190

Максимальная прибыль

P = 38·190 − 0,1·190² − 1400 = €2210

Ответ

q = 190

7.Интегралы

Ответ: I = 0,6321

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^−x/(−1)

Подставьте пределы

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0,3679 − 1)/(−1) = 0,6321

Ответ

I = 0,6321

8.Интегралы

Ответ: V = 0,4189

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

1x = 1x² → x = 0, x = 1

Метод колец (шайб)

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0,1333 = 0,4189

Ответ

V = 0,4189

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1