Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 + 0,5/x)^x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 0,5/x)^xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^0,5x. Найдите f′(2).

f(x) = x·e^0,5xx = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = −x² + 3 в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = −x² + 3x = 2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 750 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 750 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 580 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 20 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 20 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

580 × €1520 / €1

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = √(4x) от x = 0 до x = 1 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (параболоида).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 1

V =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,649

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 0,5/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·0,5 = 0,5

Избавьтесь от логарифма

L = e^0,5 = 1,649

Ответ

L = 1,649

2.Пределы

Ответ: L = 0,125

Первое применение

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

0,25·e^0,5x/2

Подставьте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Ответ

L = 0,125

3.Производные

Ответ: f′(2) = 5,437

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Подставьте

f′(2) = 2,718·(1 + 1) = 5,437

Ответ

f′(2) = 5,437

4.Производные

Ответ: b = 7

Точка и наклон

f(2) = −1

f′(x) = −2x → f′(2) = −4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−4)·2 = 7

Ответ

b = 7

5.Оптимизация

Ответ: h = 9,847 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 750/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1500/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4,924 cm

Высота и площадь

h = 750/(π·4,924²) = 2r = 9,847 cm

A = 2π·4,924² + 1500/4,924 = 457 cm²

Ответ

h = 9,847 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 22 €

Выручка как функция цены

n(p) = 880 − 20p

R(p) = 880p − 20p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −40 < 0, поэтому это максимум.

p = 880/40 = €22

Максимальная выручка

n = 880 − 20·22 = 440

R = 22·440 = €9680

Ответ

p = €22

7.Интегралы

Ответ: V = 6,283

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀¹ 4x dx

Интегрируйте

V = π·4·1²/2 = 6,283

Ответ

V = 6,283

8.Интегралы

Ответ: A = 36

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1