Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² − 2x) − x).

f(x) = √(x² − 2x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(3x), x в радианах. Найдите f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 4,5x² + 6x + 6. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ + 4,5x² + 6x + 6

x =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 62500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите сторону дна x.

V = 62500 cm³

x = cm

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €75 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 3600 + 58q + 0,01q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €75C = 3600 + 58q + 0,01q²

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −2x/(√(x² − 2x) + x)

Разделите на x

f(x) = −2/(√(1 + (−2)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −2/(1 + 1) = −1

Ответ

L = −1

2.Пределы

Ответ: L = 1

Первое применение

2·sin 2x/(4x) → 0/0

Второе применение

4·cos 2x/4

Подставьте x = 0

L = 4/4 = 1

Ответ

L = 1

3.Производные

Ответ: f′(2) = 5,482

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Подставьте

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Ответ

f′(2) = 5,482

4.Производные

Ответ: x = −2

Производная

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

Решите f′(x) = 0

x = −2 или x = −1

Что есть что

f″(x) = 6x + 9: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −2

Ответ

x = −2

5.Оптимизация

Ответ: x = 50 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 250000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Высота и площадь

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Ответ

x = 50 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: P = 3625 €

Функция прибыли

P(q) = 75q − (3600 + 58q + 0,01q²) = −0,01q² + 17q − 3600

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,02 < 0, поэтому это максимум.

17 − 0,02q = 0 → q = 850

Максимальная прибыль

P = 17·850 − 0,01·850² − 3600 = €3625

Ответ

P = €3625

7.Интегралы

Ответ: I = 14,12

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

Ответ

I = 14,12

8.Интегралы

Ответ: I = 0,0609

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Ответ

I = 0,0609

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1