Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (−3x3 − 6x + 5)/(5x3 + 4x + 7).

f(x) = (−3x3 − 6x + 5)/(5x3 + 4x + 7)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 3x)/(3x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = −2

Пусть f(x) = ln(3x2 + 4). Найдите f′(−2).

f(x) = ln(3x2 + 4)x = −2
f′(−2) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 12x − 4. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 12x − 4
x =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 500 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

V = 500 cm³
r = cm
6.ОптимизацияСложная
p (€)R(p)15сейчас

Театр продаёт 380 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 20 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 20 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

380 × €1520 / €1
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy12y = x ln x

Вычислите I = ∫₁2 x·ln x dx.

∫₁2 x ln x dx
I =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 2x2​y = 3x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x2 и y = 3x.

y = 2x2y = 3x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −0,6

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−3 + (−6)/x2 + 5/x3)/(5 + 4/x2 + 7/x3)

Пусть x → ∞

L = −3/5 = −0,6

Ответ

L = −0,6

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

3·sin 3x/(6x) → 0/0

Второе применение

9·cos 3x/6

Подставьте x = 0

L = 9/6 = 1,5

Ответ

L = 1,5
3.Производные

Ответ: f′(−2) = −0,75

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x2 + 4)

Подставьте

f′(−2) = −12/16 = −0,75

Ответ

f′(−2) = −0,75
4.Производные

Ответ: x = 2

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 12 = 3·(x2 − 4)

Решите f′(x) = 0

x = −2 или x = 2

Что есть что

f″(x) = 6x: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−2) = −12, f″(2) = 12
x = 2

Ответ

x = 2
5.Оптимизация

Ответ: r = 4,301 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 500/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1000/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Высота и площадь

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm
A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Ответ

r = 4,301 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 17 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Выручка как функция цены

n(p) = 680 − 20p
R(p) = 680p − 20p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −40 < 0, поэтому это максимум.

p = 680/40 = €17

Максимальная выручка

n = 680 − 20·17 = 340
R = 17·340 = €5780

Ответ

p = €17
7.Интегралы

Ответ: I = 0,6363

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0,25) = 0,6363

Ответ

I = 0,6363
8.Интегралы

Ответ: A = 1,125

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x2 = 3x → x = 0, x = 1,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x2 − 0,6667x3]01,5 = 1,125

Ответ

A = 1,125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1