Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 3/x)^xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x²·e^−0,5x. Найдите f′(0,5).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = x² + 5x + 3 в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x² + 5x + 3x = 1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 600 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 600 m²€30/m€8/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €45 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 300 + 4q + 0,25q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €45C = 300 + 4q + 0,25q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = 0,5x от x = 0 до x = 1 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 1

V =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 20,09

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 3/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·3 = 3

Избавьтесь от логарифма

L = e³ = 20,09

Ответ

L = 20,09

2.Пределы

Ответ: L = 12,5

Первое применение

5·sin 5x/(2x) → 0/0

Второе применение

25·cos 5x/2

Подставьте x = 0

L = 25/2 = 12,5

Ответ

L = 12,5

3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 0,6815

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Подставьте

f′(0,5) = 0,7788·(1 + (−0,125)) = 0,6815

Ответ

f′(0,5) = 0,6815

4.Производные

Ответ: b = 2

Точка и наклон

f(1) = 9

f′(x) = 2x + 5 → f′(1) = 7

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 9 − 7·1 = 2

Ответ

b = 2

5.Оптимизация

Ответ: C = 1208 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 38x + 9600/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 19200/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(9600/38) = 15,89 m

y = 600/15,89 = 37,75 m

Минимальная стоимость

C = 38·15,89 + 9600/15,89 = €1208

Ответ

C = €1208

6.Оптимизация

Ответ: q = 82 ед.

Функция прибыли

P(q) = 45q − (300 + 4q + 0,25q²) = −0,25q² + 41q − 300

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

41 − 0,5q = 0 → q = 82

Максимальная прибыль

P = 41·82 − 0,25·82² − 300 = €1381

Ответ

q = 82

7.Интегралы

Ответ: V = 0,2618

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀¹ 0,25x² dx

Интегрируйте

V = π·0,25·1³/3 = 0,2618

Ответ

V = 0,2618

Проверка: конус с радиусом 0,5 и высотой 1 имеет (1/3)πr²h = 0,2618.

8.Интегралы

Ответ: I = 3,602

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

Ответ

I = 3,602

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1