Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−4x³ − 3x + 2)/(x³ + 2x + 3).

f(x) = (−4x³ − 3x + 2)/(x³ + 2x + 3)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x²·e^−0,5x. Найдите f′(1).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = −x² − 2x − 2 в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = −x² − 2x − 2x = 1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 450 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €15 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 450 m²€15/m€8/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €25 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 900 + 8q + 0,05q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €25C = 900 + 8q + 0,05q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ x·sin x dx (x в радианах).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 2x и параболой y = x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 2xy = x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−4 + (−3)/x² + 2/x³)/(1 + 2/x² + 3/x³)

Пусть x → ∞

L = −4/1 = −4

Ответ

L = −4

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Первое применение

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Второе применение

1·e^x/2

Подставьте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5

3.Производные

Ответ: f′(1) = 0,9098

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Подставьте

f′(1) = 0,6065·(2 + (−0,5)) = 0,9098

Ответ

f′(1) = 0,9098

4.Производные

Ответ: b = −1

Точка и наклон

f(1) = −5

f′(x) = −2x − 2 → f′(1) = −4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − (−4)·1 = −1

Ответ

b = −1

5.Оптимизация

Ответ: C = 813,9 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 23x + 7200/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 14400/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(7200/23) = 17,69 m

y = 450/17,69 = 25,43 m

Минимальная стоимость

C = 23·17,69 + 7200/17,69 = €813,9

Ответ

C = €813,9

6.Оптимизация

Ответ: q = 170 ед.

Функция прибыли

P(q) = 25q − (900 + 8q + 0,05q²) = −0,05q² + 17q − 900

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,1 < 0, поэтому это максимум.

17 − 0,1q = 0 → q = 170

Максимальная прибыль

P = 17·170 − 0,05·170² − 900 = €545

Ответ

q = 170

7.Интегралы

Ответ: I = 0,3012

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Ответ

I = 0,3012

8.Интегралы

Ответ: V = 13,4

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

2x = 1x² → x = 0, x = 2

Метод колец (шайб)

V = π∫₀² ((2x)² − (1x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4,267 = 13,4

Ответ

V = 13,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1