Математический анализ 2: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Последовательности и ряды

Арифметическая прогрессия: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости: R = lim |c_k/c_k+1|
Многочлен Тейлора: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Метод

Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Математический анализ функций нескольких переменных

Частные производные: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Градиент: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Производная по направлению: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Касательная плоскость: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Цепное правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Тест по вторым производным: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Двойной интеграл: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Полярные координаты: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Метод

Для частной производной считайте другую переменную константой и используйте правила для одной переменной.
В задачах на градиент вычислите ∇f = (f_x, f_y) в точке; используйте |∇f| для наибольшего наклона и ∇f·u с единичным вектором u для производной по направлению.
Для экстремумов решите f_x = 0 и f_y = 0 совместно, затем классифицируйте каждую точку по D = f_xx·f_yy − f_xy².
Для двойного интеграла нарисуйте область, выберите порядок (или полярные координаты для кругов) так, чтобы пределы внутреннего интеграла были ограничивающими кривыми, и интегрируйте сначала внутренний.

Дифференциальные уравнения

Экспоненциальный рост/убывание: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Период полураспада: k = ln 2 / t_½
Закон охлаждения Ньютона: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Интегрирующий множитель: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Бак смешения: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Тренировочные задачи

1.ИнтегралыСредняя

Область под y = 3x от x = 0 до x = 2 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 3x0 ≤ x ≤ 2

V =

2.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 1 − x² и осью x.

y = 1 − x²

A =

3.Последовательности и рядыСредняя

Найдите сумму S = Σ_k=1^∞ 6/(k(k + 3)).

a_k = 6/(k(k + 3))

S =

4.Последовательности и рядыСложная

Узнайте ряд и найдите его сумму: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·2^2k+1/(2k + 1)!.

a_k = (−1)ᵏ·2^2k+1/(2k + 1)!

S =

5.Математический анализ функций нескольких переменныхСредняя

z = 2 ln(x² + 3y²), где x = −2t − 2 и y = −t² − 2. Используйте цепное правило, чтобы найти dz/dt при t = −1.

z = 2 ln(x² + 3y²)x = −2t − 2y = −t² − 2t = −1

dz/dt =

6.Математический анализ функций нескольких переменныхСложная

Вычислите I = ∬_R x dA, где R — область между параболой y = x² и прямой y = 4x.

y = x²y = 4xf = x

I =

7.Дифференциальные уравненияСредняя

Банку газировки температурой 5 °C достали из холодильника в комнату при 24 °C. Через 23 min температура равна 22 °C. Процесс подчиняется закону охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ). Найдите константу k в min⁻¹.

T₀ = 5 °CT_a = 24 °CT(23) = 22 °C

k = min⁻¹

8.Дифференциальные уравненияСложная

В баке 400 L чистой воды. Рассол с содержанием соли 0,1 kg на литр поступает со скоростью 20 L/min, а хорошо перемешанный раствор вытекает с той же скоростью. Сколько соли m будет в баке через 40 min?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

3Растворы

1.Интегралы

Ответ: V = 75,4

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀² 9x² dx

Интегрируйте

V = π·9·2³/3 = 75,4

Ответ

V = 75,4

Проверка: конус с радиусом 6 и высотой 2 имеет (1/3)πr²h = 75,4.

2.Интегралы

Ответ: A = 1,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

1 − x² = 0 → x = ±1

Интегрируйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Ответ

A = 1,333

3.Последовательности и ряды

Ответ: S = 3,667

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |a_k+1/a_k|; радикальный признак Коши: L = lim |a_k|^1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σc_k(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |c_k/c_k+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Простые дроби

6/(k(k + 3)) = (6/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Отмена

S = (6/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 3,667

Ответ

S = 3,667

4.Последовательности и ряды

Ответ: S = 0,9093

Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.

Стандартные ряды

Σ (−1)ᵏx^2k+1/(2k + 1)! = sin x

Подставьте

x = 2

S = sin 2 = 0,9093

Ответ

S = 0,9093

5.Математический анализ функций нескольких переменных

Ответ: dz/dt = −2,667

Градиент: ∇f = (f_x, f_y) указывает направление наискорейшего роста, а |∇f| — наибольшая скорость изменения. Производная по направлению v равна D_uf = ∇f·u, где единичный вектор u = v/|v|. Касательная плоскость в точке (a, b) задаётся уравнением z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); она даёт линейное приближение f вблизи этой точки. Цепное правило: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Точка и скорости

x(−1) = 0, y(−1) = −3

dx/dt = −2, dy/dt = −2t = 2

Частные производные

f_x = 4x/(x² + 3y²) = 0

f_y = 12y/(x² + 3y²) = −1,333

Цепное правило

dz/dt = 0·(−2) + (−1,333)·2 = −2,667

Ответ

dz/dt = −2,667

6.Математический анализ функций нескольких переменных

Ответ: I = 21,33

Критические точки и двойные интегралы: в критической точке f_x = f_y = 0. Тест по вторым производным с D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 и f_xx > 0 — локальный минимум, D > 0 и f_xx < 0 — локальный максимум, D < 0 — седловая точка, а D = 0 ничего не решает. Для двойного интеграла по произвольной области пусть пределы внутреннего интеграла будут кривыми, ограничивающими область; для кругов и секторов используйте полярные координаты, x = r cos θ, y = r sin θ и dA = r dr dθ (не забывайте множитель r).

Точки пересечения

x² = 4x → x = 0, x = 4

Внутренний интеграл

∫_x²^4x x dy = x(4x − x²) = 4x² − x³

Внешний интеграл

I = ∫₀⁴ (4x² − x³) dx = 21,33

Ответ

I = 21,33

7.Дифференциальные уравнения

Ответ: k = 0,09788 min⁻¹

Дифференциальные уравнения первого порядка: dy/dt = k·y имеет решение y = y₀·e^kt (рост при k > 0, убывание при k < 0); период полураспада T даёт k = ln 2/T. Закон охлаждения Ньютона dT/dt = −k·(T − Tₐ) даёт T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Линейное уравнение y′ + p(x)·y = q(x) решается с интегрирующим множителем μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, поэтому μy = ∫μq dx + C.

Отношение разностей температур

e^−23k = -2/-19

Найдите k

k = ln(-19/-2)/23 = 0,09788 min⁻¹

Ответ

k = 0,09788 min⁻¹

8.Дифференциальные уравнения

Ответ: m = 34,59 kg

Составьте уравнение

dm/dt = 20·0,1 − (20/400)·m = 2 − 0,05·m

Решите

Интегрирующий множитель равен e^rt/V; решение стремится к равновесному значению c·V.

m(t) = 40 + (−40)·e^−t/20

Подставьте t

m(40) = 40 + (−40)·0,1353 = 34,59 kg

Ответ

m = 34,59 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2