Математический анализ 2: тренировочные задачи и экзаменационные вопросы

Второй курс математического анализа: методы интегрирования, последовательности и ряды с признаками сходимости, степенные ряды и многочлены Тейлора, а также анализ функций нескольких переменных с частными производными, градиентами, критическими точками и двойными интегралами. В зависимости от учебной программы часть этого материала изучается как Математический анализ 3.

Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Шпаргалка-пакет (PDF)Листы формул, шаги методов и тренировочные задачи с полными решениями, готовые к печати.

Темы этого курса

  1. Интегралымногочлены · экспоненты, логарифмы и замена переменной · площади между кривымирасчёты
  2. Последовательности и рядыарифметические и геометрические ряды · сходимость и степенные ряды · многочлены Тейлора и Маклоренарасчёты
  3. Математический анализ функций нескольких переменныхчастные производные и двойные интегралы · градиент, касательная плоскость и цепное правило · критические точки и интегралы по областямрасчёты
  4. Дифференциальные уравненияэкспоненциальный рост и убывание · Закон охлаждения Ньютона · линейные первого порядкарасчёты

Советы к экзамену: Математический анализ 2

  • Перед любым признаком сходимости проверьте, что члены стремятся к 0; если нет, ряд расходится.
  • Запишите многочлен Тейлора с факториалами на своих местах, прежде чем подставлять число.
  • Для двойного интеграла сначала нарисуйте область: чертёж даёт пределы внутреннего интеграла.

Разобранные примеры

ИнтегралыЛёгкая
xy3y = 0,5x

Область под y = 0,5x от x = 0 до x = 3 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Найти: V

Показать подсказки
  1. Слой при x — круг радиуса y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Показать ответ и пошаговое решение

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀3 0,25x² dx

Интегрируйте

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Ответ

V = 7,069

Проверка: конус с радиусом 1,5 и высотой 3 имеет (1/3)πr²h = 7,069.

Последовательности и рядыСредняя
kSn​12345678910S = ?

Найдите сумму S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Найти: S

Показать подсказки
  1. Разложение на простые дроби: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Выпишите первые несколько членов: большинство сокращается (телескопическая сумма).
  3. Остаётся (12/3)·(1 + … + 1/3).
Показать ответ и пошаговое решение

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Простые дроби

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Отмена

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Ответ

S = 7,333

Как проходят занятия

  • «Заниматься по этому курсу» смешивает задачи из всех его тем, как на настоящем экзамене.
  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Пробные экзамены ограничены по времени и идут без подсказок, а в конце вы получаете результат и полный разбор.

Калькуляторы для этого курса

Калькулятор периода полураспада и экспоненциального распадаКалькулятор интегралов (определённых и неопределённых)

Похожие курсы

Инженерная математика 2Задачи для подготовки к AP CalculusВысшая математикаДифференциальные уравненияЧисленные методыМатематический анализ 1Основы статистикиСтатистика 2: Статистический вывод
Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.