Интегралы: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: неопределённый интеграл · определённый интеграл · интегрирование по частям

Бесплатные задачи по теме Интегралы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: многочлены, экспоненты, логарифмы и замена переменной, площади между кривыми.

Бесплатная задачаЛёгкая
xy−2−1

Вычислите I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: ИнтегралыЗанимайтесь сейчас: ИнтегралыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаямногочлены
  2. Средняяэкспоненты, логарифмы и замена переменной
  3. Сложнаяплощади между кривыми

Как решать задачи по теме «Интегралы»

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

Типичные ошибки

  • Забывают разделить на новый показатель степени.
  • Не меняют пределы интегрирования после замены.
  • Забывают + C в неопределённом интеграле.

Основные формулы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Изучите тему «Интегралы» с нуля

Перед этим: Производные

1Что такое интеграл

Интеграл складывает изменяющуюся величину. Нагляднее всего представить его как площадь под графиком.

Автомобиль едет со скоростью 20 m/s в течение 5 s. Он проходит 20 · 5 = 100 m. На графике зависимости скорости от времени это площадь прямоугольника под линией.

xy520100

Когда скорость меняется, фигура под графиком получается криволинейной, но идея та же: площадь — это путь.

Площадь под f между x = a и x = b записывают так:

∫ab f(x) dx

Числа a и b — это пределы интеграла. Запись dx показывает, что x — переменная.

Самопроверка Велосипедист едет с постоянной скоростью 10 m/s в течение 4 s. Чему равна площадь под графиком зависимости скорости от времени?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

Ответ: 40 m. Площадь — это прямоугольник: высота 10 m/s, умноженная на ширину 4 s, даёт 40 m. Деление 10 на 4 даёт 2,5, а это не площадь.

2Первообразные и степенное правило

Интегрирование — это дифференцирование наоборот. Первообразная F функции f — это функция, производная которой равна f.

Поскольку (x³)′ = 3x², первообразная для 3x² — это x³. Можно прибавить любую константу, поэтому пишем ∫3x² dx = x³ + C.

Степенное правило для интегралов: увеличьте степень на единицу, затем разделите на новую степень.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Постоянный множитель остаётся впереди: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Отдельная константа: ∫4 dx = 4x + C.
  • В сумме интегрируйте каждое слагаемое отдельно.

Выучите и эти: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x и ∫sin x dx = −cos x.

Первообразную всегда можно проверить: продифференцируйте её, и вы должны получить исходную функцию.

Самопроверка Чему равен ∫6x² dx?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Ответ: 2x³ + C. Повысьте степень до 3 и разделите на 3: 6x³/3 = 2x³. 12x — это производная, а не интеграл, а 6x³ не учитывает деление на новую степень.

3Определённые интегралы и площади

У определённого интеграла есть пределы, и он даёт число. Найдите первообразную F, затем вычтите её значения на двух пределах.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

Константа C при вычитании сокращается, поэтому здесь её можно не писать.

Пример: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, так как ln 1 = 0.

Подстановка помогает, когда одна функция находится внутри другой. Для e0,5x положите u = 0,5x. Получится правило выше: разделите на 0,5.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

Площадь между двумя кривыми — это интеграл от верхней кривой минус нижняя кривая между точками, в которых они пересекаются.

Для y = 2x и y = x² кривые пересекаются при x = 0 и x = 2. На этом промежутке сверху находится 2x.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Самопроверка Кривые y = x и y = x² пересекаются при x = 0 и x = 1. Между ними сверху находится y = x. Чему равна ограниченная площадь?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Ответ: 1/6. ∫(x − x²) dx от 0 до 1 равен 1/2 − 1/3 = 1/6. Если взять нижнюю минус верхнюю, получится −1/6, а если сложить два интеграла — 5/6.

4Метод по шагам

  1. Перепишите функцию как сумму простых слагаемых. Запишите корни и дроби в виде степеней: √x = x1/2.
  2. Найдите первообразную каждого слагаемого по степенному правилу или по стандартному интегралу.
  3. Быстро проверьте, продифференцировав в уме.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) и F(a) отдельно.
  5. Вычтите: F(b) − F(a). Следите за знаками минус, когда a отрицательно.

Для площади между кривыми сначала решите f(x) = g(x), чтобы найти пределы, затем интегрируйте верхняя минус нижняя.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Вычислите I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

Интегрируйте почленно

3x² даёт 3x³/3 = x³. 2x даёт 2x²/2 = x². Константа 1 даёт x.

F(x) = x³ + x² + x
2

Проверьте дифференцированием

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Это исходная функция, значит, F верна.

3

Значение на верхнем пределе

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Значение на нижнем пределе

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Вычтите

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

Интеграл — это закрашенная площадь под кривой между x = 0 и x = 2.

Ответ

I = 14

6Типичные ошибки

  • Забывают разделить на новый показатель степени.
  • Дифференцировать вместо интегрирования: понижать степень вместо повышения.
  • Записывать ∫1/x dx как x⁰/0. Степенное правило не работает при n = −1; используйте ln|x|.
  • Забывать знаки минус в F(a), когда a отрицательно, например (−1)³ = −1.
  • Забывать + C в неопределённом интеграле или не менять пределы после подстановки.
Самопроверка Чему равен ∫02 x³ dx?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Ответ: 4. F(x) = x⁴/4, поэтому F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Если забыть разделить на новую степень 4, получится 16.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: определённый интеграл от многочлена, иногда с отрицательными пределами. Используйте степенное правило и F(b) − F(a).
  • Средняя: экспоненты, логарифмы и подстановка, например ∫e0,5x dx или ∫3/x dx между двумя пределами.
  • Сложная: площадь, ограниченная двумя кривыми, например y = x² и y = 4x. Найдите, где они пересекаются, затем интегрируйте верхняя минус нижняя.

Быстрая проверка: площадь, ограниченная двумя кривыми, всегда положительна. Если у вас получилось отрицательное число, вы вычли в неправильном порядке.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
xy3y = 0,5x

Область под y = 0,5x от x = 0 до x = 3 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Найти: V

Показать подсказки
  1. Слой при x — круг радиуса y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Показать ответ и пошаговое решение

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀3 0,25x² dx

Интегрируйте

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Ответ

V = 7,069

Проверка: конус с радиусом 1,5 и высотой 3 имеет (1/3)πr²h = 7,069.

Пример 2Средняя
xy2y = x·cos x

Вычислите I = ∫₀2 x·cos x dx (x в радианах).

∫₀2 x·cos x dx

Найти: I

Показать подсказки
  1. Возьмите u = x и dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Показать ответ и пошаговое решение

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Ответ

I = 0,4024
Пример 3Сложная
xyy = 2x2​y = x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x2 и y = x.

y = 2x2y = x

Найти: A

Показать подсказки
  1. Сначала найдите точки пересечения кривых: приравняйте их.
  2. Они пересекаются при x = 0 и x = 0,5. Между ними прямая лежит над параболой.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
Показать ответ и пошаговое решение

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Ответ

A = 0,04167

Вопросы и ответы

Интегралы: что это?

Интеграл складывает изменяющуюся величину. Нагляднее всего представить его как площадь под графиком.

Автомобиль едет со скоростью 20 m/s в течение 5 s. Он проходит 20 · 5 = 100 m. На графике зависимости скорости от времени это площадь прямоугольника под линией.

Интегралы: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).
Интегралы: какие ошибки самые частые?
  • Забывают разделить на новый показатель степени.
  • Не меняют пределы интегрирования после замены.
  • Забывают + C в неопределённом интеграле.
Интегралы: что вы тренируете?
  • Лёгкая: многочлены
  • Средняя: экспоненты, логарифмы и замена переменной
  • Сложная: площади между кривыми

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Производные

Далее

Свёртка и линейные стационарные системыПреобразования ЛапласаМатематический анализ функций нескольких переменныхЧисленные методыДифференциальные уравнения

Калькуляторы

Калькулятор интегралов (определённых и неопределённых)

Курсы с этой темой

Математический анализ 1Высшая математикаДифференциальные уравненияИнженерная математика 2Математический анализ 2Задачи для подготовки к AP Calculus

Другие темы: Математика и статистика

ПределыПроизводныеОптимизацияПоследовательности и рядыМатематический анализ функций нескольких переменныхДифференциальные уравненияКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиВекторы: скалярное и векторное произведенияЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаВероятностьОписательная статистикаНормальное распределениеДоверительные интервалыПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Интегралы: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: ИнтегралыЗанимайтесь сейчас: ИнтегралыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.