Матрицы и определители: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: определитель матрицы · обратная матрица · детерминант
Бесплатные задачи по теме Матрицы и определители с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: определитель 2×2, 3×3 и произведения, собственные значения и системы.
Изучите тему «Матрицы и определители» с нуля
1Матрицы и определитель 2×2
Матрица — это таблица чисел, расположенных в строках и столбцах. Матрица с 2 строками и 3 столбцами называется матрицей 2×3: сначала строки, затем столбцы.
Инженеры используют матрицы, чтобы записывать сразу много уравнений. Система 2x + y = 5 и x − y = 1 хранится как матрица [2 1; 1 −1] её коэффициентов.
У квадратной матрицы есть одно особое число — её определитель, обозначаемый det A. Для матрицы 2×2 это произведение элементов одной диагонали минус произведение элементов другой.
det A = a·d − b·c
Для [3 1; 2 4] определитель равен 3·4 − 1·2 = 10.
Если det A = 0, у матрицы нет обратной, а у системы уравнений нет единственного решения.
Самопроверка Чему равен определитель [4 2; 3 5]? (Строка 1: 4 2, строка 2: 3 5.)
- 14
- 26
- 9
- −14
Ответ: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. Сумма двух произведений даёт 26, а bc − ad даёт −14.
2Определители 3×3 и произведения
Для матрицы 3×3 разложите по первой строке. Каждый элемент умножается на свой минор: определитель 2×2, который остаётся после вычёркивания строки и столбца этого элемента.
det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13
Знаки идут + − + вдоль первой строки. Эту схему знаков легче всего забыть.
Произведение матриц AB строится из строк A и столбцов B. Элемент в строке i и столбце j — это строка i матрицы A, умноженная на столбец j матрицы B: перемножьте пары и сложите.
[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]
Произведение существует, только когда в A столько же столбцов, сколько строк в B. В общем случае AB не равно BA.
Самопроверка A = [2 1; 0 3] и B = [1 4; 2 1]. Чему равен элемент в строке 1 и столбце 2 матрицы AB?
- 13
- 4
- 6
- 9
Ответ: 9. Строка 1 матрицы A — это (2, 1), а столбец 2 матрицы B — (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. Умножение только соответствующих элементов даёт 1·4 = 4, а 13 — это элемент BA.
3Собственные значения и системы
Собственное значение λ матрицы A — это число, для которого A·v = λ·v при некотором векторе v ≠ 0. Матрица лишь растягивает этот вектор, не поворачивая его.
Собственные значения находят из характеристического уравнения. Здесь I — единичная матрица [1 0; 0 1].
det(A − λI) = 0
Для матрицы 2×2 оно превращается в квадратное уравнение. Его средний коэффициент — след a + d, а свободный член — det A:
λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0
Для [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, поэтому (λ − 2)(λ − 5) = 0, и собственные значения равны 2 и 5.
Правило Крамера решает систему с помощью определителей. Замените столбец i матрицы A правой частью, чтобы получить Ai, тогда xi = det Ai / det A.
Для 2x + y = 5 и x − y = 1: det A = −3 и det Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6, поэтому x = −6/−3 = 2.
Самопроверка Каково большее собственное значение матрицы [2 1; 1 2]?
- 1
- 2
- 3
- 4
Ответ: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 даёт (λ − 1)(λ − 3) = 0, поэтому собственные значения равны 1 и 3. 4 — это след, то есть сумма собственных значений, а не одно из них.
4Метод по шагам
- Аккуратно перепишите матрицу со всеми знаками минус.
- Определитель 2×2: ad − bc.
- Определитель 3×3: для каждого элемента первой строки вычеркните его строку и столбец и найдите минор 2×2.
- Объедините со знаками + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
- Собственные значения: запишите λ² − (a + d)λ + det A = 0 и решите квадратное уравнение.
- Проверка: строка из нулей или две одинаковые строки всегда дают det A = 0.
Совет: раскладывайте по строке или столбцу с большим числом нулей. Каждый нулевой элемент избавляет от одного минора.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный примерНайдите определитель матрицы 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].
1Вычеркните строку 1 и столбец 1 элемента 2. Остаётся [3 1; 2 4].
M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2Вычеркните строку 1 и столбец 2 элемента 1. Остаётся [1 1; 0 4].
M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3Элемент a13 равен 0, поэтому его слагаемое равно 0 при любом миноре. Его можно пропустить.
4det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5Для матриц 3×3 правило Саррюса даёт то же значение: три произведения по «нисходящим» диагоналям минус три произведения по «восходящим».
(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
6Типичные ошибки
- Забывать знак минус у среднего слагаемого в разложении 3×3.
- Вычислять bc − ad вместо ad − bc.
- Терять знак минус, когда элемент отрицателен: −2 · −3 равно +6.
- Умножать матрицы поэлементно вместо «строка на столбец».
- Принимать след или диагональный элемент за собственное значение вместо решения характеристического уравнения.
Самопроверка Чему равен определитель [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]?
- 10
- 14
- −10
- −14
Ответ: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. Использование + для среднего слагаемого даёт 2 + 12 = 14 — самую частую ошибку.
7Как выглядят экзаменационные задачи
- Лёгкая: определитель матрицы 2×2, часто с отрицательными элементами. Используйте ad − bc.
- Средняя: определитель 3×3 или произведение матриц. Раскладывайте по первой строке со знаками + − +.
- Сложная: собственные значения матрицы 2×2 или одна неизвестная системы 2×2 по правилу Крамера.
Быстрая проверка собственных значений: их сумма должна равняться следу a + d, а произведение — det A.
Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении