Векторы: скалярное и векторное произведения: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: скалярное произведение · векторное произведение

Бесплатные задачи по теме Векторы: скалярное и векторное произведения с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: модуль и компоненты, скалярное произведение, векторное произведение и моменты.

Бесплатная задачаЛёгкая
xyza

Найдите модуль |a| вектора a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Векторы: скалярное и векторное произведенияЗанимайтесь сейчас: Векторы: скалярное и векторное произведенияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаямодуль и компоненты
  2. Средняяскалярное произведение
  3. Сложнаявекторное произведение и моменты

Как решать задачи по теме «Векторы: скалярное и векторное произведения»

  1. Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
  2. Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
  3. Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Типичные ошибки

  • Складывать модули вместо компонент.
  • Ошибаться в знаке средней (y) компоненты векторного произведения.
  • Использовать в моменте положение точки вместо r = A − O.
  • Брать арктангенс, не проверив четверть.

Основные формулы

Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Единичный вектор
û = a/|a|
Компоненты по углу
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярное произведение
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b
a·b/|b|
Работа
W = F·d
Векторное произведение
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площади
параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O
MO = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда
V = |a·(b × c)|

Изучите тему «Векторы: скалярное и векторное произведения» с нуля

1Что такое вектор

Некоторым величинам нужно только число: масса 5 kg или температура 20 °C. Это скаляры.

Другим величинам нужно ещё и направление. Сила 40 N, направленная вверх, сильно отличается от силы 40 N, направленной вбок. Это векторы.

Вектор описывают его составляющими: как далеко он простирается вдоль x, вдоль y и вдоль z. Вектор a = (4, 3, 0) простирается на 4 единицы вдоль x, 3 вдоль y и 0 вдоль z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Силы, перемещения и скорости — всё это векторы. Инженеры используют векторную математику, чтобы складывать силы, находить углы и вычислять моменты в трёх измерениях.

Векторы складываются покомпонентно: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Так находят равнодействующую нескольких сил.

Самопроверка Чему равна длина вектора a = (3, 4, 0)?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Ответ: 5. Длина равна √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Сложение составляющих (7) неверно, потому что они перпендикулярны, а 25 забывает квадратный корень.

2Длина, направление и составляющие

Модуль |a| — это длина вектора. Это теорема Пифагора в трёх измерениях:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Единичный вектор имеет длину 1 и направлен в ту же сторону. Его получают делением каждой составляющей на модуль:

û = a / |a|

Для a = (0, 3, 4) модуль равен 5, поэтому û = (0, 0,6, 0,8). Проверка: 0,6² + 0,8² = 1.

Силу в плоскости xy часто задают величиной F и углом θ, отсчитываемым против часовой стрелки от положительной оси x. Её составляющие:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Косинус и синус сами дают знаки. Сила под углом 120° имеет отрицательную x-составляющую, потому что cos 120° = −0,5.

При возврате от составляющих к углу arctan(Ry/Rx) даёт ответы только от −90° до 90°. Если Rx отрицательна, прибавьте 180°. Если отрицательна только Ry, прибавьте 360°.

Самопроверка Чему равна y-составляющая единичного вектора в направлении a = (0, 3, 4)?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Ответ: 0,6. Разделите на модуль 5: 3/5 = 0,6. 3 не делит, 0,12 делит на |a|² = 25, а 0,43 делит на сумму составляющих (7).

3Скалярное и векторное произведения

Есть два способа умножить два вектора. Скалярное произведение даёт число. Векторное произведение даёт новый вектор.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Здесь θ — угол между двумя векторами. Скалярное произведение измеряет, насколько векторы направлены в одну сторону. Оно равно нулю, когда векторы перпендикулярны.

dFθ|F|·cos θ
  • Угол: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • Скалярная проекция a на b (часть a вдоль b): a·b / |b|.
  • Работа постоянной силы на перемещении: W = F·d.
  • Два вектора перпендикулярны, когда a·b = 0.

Векторное произведение a × b — это вектор, перпендикулярный и a, и b. Его длина равна площади параллелограмма, натянутого на эти два вектора.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Для a = (1, 2, 0) и b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Площадь параллелограмма равна 5, а треугольника — половине этого, 2,5.

Порядок важен: b × a = −(a × b). Момент силы F, приложенной в точке A, относительно точки O равен M = r × F, где r = A − O.

Самопроверка Для a = (2, 1, 0) и b = (1, 4, 0) чему равна z-составляющая a × b?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Ответ: 7. z-составляющая = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 — это b × a (порядок изменён), 6 — скалярное произведение, а 9 складывает два произведения вместо вычитания.

4Метод по шагам

  1. Запишите каждый вектор в составляющих. Для силы, заданной величиной и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
  2. Если в вопросе даны точки, постройте по ним векторы: вектор от A к B равен B − A.
  3. Решите, какой инструмент вам нужен. Длины и направления: модуль и единичный вектор. Углы, проекции и работа: скалярное произведение. Площади, перпендикулярные векторы и моменты: векторное произведение.
  4. Сначала запишите формулу, затем подставляйте числа по одной составляющей. Держите знаки в скобках.
  5. Проверьте результат: у единичного вектора длина 1, a × b перпендикулярен a (то есть a·(a × b) = 0), а угол между векторами лежит между 0° и 180°.

Чтобы получить единичный вектор, перпендикулярный двум векторам, возьмите n = a × b и разделите на его длину. Если вопрос требует положительной z-составляющей, а у вас отрицательная, смените все знаки.

Объём параллелепипеда с рёбрами a, b и c равен |a·(b × c)|: сначала векторное произведение, затем скалярное.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Постоянная сила F = (6, 2, −3) N перемещает объект по прямой из точки A(1, 0, 2) в точку B(3, 4, 2). Координаты даны в метрах. Найдите работу W, совершаемую силой, и угол θ между силой и перемещением.

1

Постройте перемещение

Перемещение — это вектор от A к B: вычтите начало из конца.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Работа через скалярное произведение

Работа — это скалярное произведение силы и перемещения. Перемножьте соответствующие составляющие и сложите.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

Два модуля

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

Угол

dFθ|F|·cos θ

Используйте другую форму скалярного произведения, F·d = |F|·|d|·cos θ, и найдите cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Проверьте ответ

Работа положительна, поэтому угол должен быть меньше 90°. Так и есть.

Часть силы вдоль движения равна |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Умноженная на расстояние 4,472 m, она снова даёт 20 J.

Ответ

W = 20 J и θ ≈ 50,3°.

6Типичные ошибки

  • Складывать модули вместо составляющих. Две силы 3 N и 4 N под прямым углом дают 5 N, а не 7 N.
  • Использовать координаты точки вместо r = A − O в моменте.
  • Неверно определять знак средней (y) составляющей векторного произведения. Она равна azbx − axbz, а не наоборот.
  • Менять порядок в векторном произведении. b × a направлен противоположно a × b.
  • Брать arctan для направления, не проверив, в какой четверти находится вектор.
  • Забывать ½ для площади треугольника: она равна половине |AB × AC|.
Самопроверка Сила F = (0, 10, 0) N действует в точке A(3, 0, 0) m. Чему равна величина её момента относительно O(1, 0, 0) m?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Ответ: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, поэтому M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Использование самой точки A как r даёт 30 N·m, A + O даёт 40 N·m, а одно лишь O даёт 10 N·m.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: модуль и составляющие. Длина вектора, одна составляющая единичного вектора, составляющая силы, заданной величиной и углом, либо величина или направление равнодействующей двух сил.
  • Средняя: скалярное произведение. Скалярное произведение, угол между двумя векторами, скалярная проекция, работа силы между двумя точками или значение k, при котором два вектора перпендикулярны.
  • Сложная: векторное произведение и моменты. Одна составляющая a × b, площадь параллелограмма или треугольника, момент силы относительно точки, единичная нормаль либо объём параллелепипеда по смешанному произведению.

Для вопроса о перпендикулярности положите a·b = 0. Это даёт одно линейное уравнение относительно k.

Для треугольника с вершинами A, B и C используйте векторы рёбер AB = B − A и AC = C − A. Площадь равна ½·|AB × AC|.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
xy135°F1​F2​

Две силы действуют в точке в плоскости xy: F₁ = 110 N под углом 0° и F₂ = 190 N под углом 135°, оба угла отсчитаны против часовой стрелки от положительной оси x. Найдите направление φ их равнодействующей, отсчитанное против часовой стрелки от положительной оси x (от 0° до 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Найти: φ (°)

Показать подсказки
  1. Разложите каждую силу на x- и y-компоненты.
  2. Сложите x-компоненты и y-компоненты по отдельности.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Показать ответ и пошаговое решение

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Компоненты равнодействующей

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Направление

Rₓ отрицательна, поэтому равнодействующая направлена во вторую или третью четверть: прибавьте 180° к углу с калькулятора.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Ответ

φ = 100,3°
Пример 2Средняя
xyzab

Найдите значение k, при котором векторы a = (−4, −4, 0) и b = (k, 6, 4) перпендикулярны.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Найти: k

Показать подсказки
  1. Перпендикулярные векторы имеют нулевое скалярное произведение.
  2. Запишите a·b = 0 с неизвестным k и решите линейное уравнение.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Показать ответ и пошаговое решение

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение равно нулю

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Найдите k

k = −(−24)/(−4) = −6

Ответ

k = −6
Пример 3Сложная
xyzABC

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) и C(1, 4, −4). Координаты даны в метрах.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Найти: A (m²)

Показать подсказки
  1. Составьте два вектора сторон из одной вершины: AB = B − A и AC = C − A.
  2. Площадь равна ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Показать ответ и пошаговое решение

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Векторное произведение

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Площадь треугольника

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Ответ

A = 18,99 m²

Вопросы и ответы

Векторы: скалярное и векторное произведения: что это?

Некоторым величинам нужно только число: масса 5 kg или температура 20 °C. Это скаляры.

Другим величинам нужно ещё и направление. Сила 40 N, направленная вверх, сильно отличается от силы 40 N, направленной вбок. Это векторы.

Векторы: скалярное и векторное произведения: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
  2. Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
  3. Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.
Векторы: скалярное и векторное произведения: какие ошибки самые частые?
  • Складывать модули вместо компонент.
  • Ошибаться в знаке средней (y) компоненты векторного произведения.
  • Использовать в моменте положение точки вместо r = A − O.
  • Брать арктангенс, не проверив четверть.
Векторы: скалярное и векторное произведения: что вы тренируете?
  • Лёгкая: модуль и компоненты
  • Средняя: скалярное произведение
  • Сложная: векторное произведение и моменты

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Курсы с этой темой

СтатикаВысшая математикаИнженерная математика 2

Другие темы: Математика и статистика

ПределыПроизводныеОптимизацияИнтегралыПоследовательности и рядыМатематический анализ функций нескольких переменныхДифференциальные уравненияКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаВероятностьОписательная статистикаНормальное распределениеДоверительные интервалыПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Векторы: скалярное и векторное произведения: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Векторы: скалярное и векторное произведенияЗанимайтесь сейчас: Векторы: скалярное и векторное произведенияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.