Производные: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: нахождение производной · дифференцирование · производная сложной функции

Бесплатные задачи по теме Производные с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: степенное правило, цепное правило и правило произведения, касательные и экстремумы.

Бесплатная задачаЛёгкая
xyx = −2

Пусть f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. Найдите наклон графика в точке x = −2, то есть f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: ПроизводныеЗанимайтесь сейчас: ПроизводныеБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаястепенное правило
  2. Средняяцепное правило и правило произведения
  3. Сложнаякасательные и экстремумы

Как решать задачи по теме «Производные»

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Типичные ошибки

  • Забывают производную внутренней функции при дифференцировании сложной функции.
  • Путают порядок в правиле дифференцирования частного.
  • Считают постоянный множитель произведением.

Основные формулы

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Изучите тему «Производные» с нуля

Перед этим: Пределы

1Что такое производная

Производная показывает, как быстро что-то меняется. Если положение автомобиля меняется на 50 km каждый час, его скорость равна 50 km/h: это скорость изменения положения.

На графике производная в точке — это наклон кривой в ней: насколько круто она поднимается или опускается, если очень сильно приблизить.

Этот наклон равен наклону касательной — прямой, которая лишь касается кривой в этой точке.

xy(1, 1)m = 2

Для y = x² касательная при x = 1 имеет наклон 2. Мы пишем f′(1) = 2 и читаем «f штрих от 1».

  • Положительная производная: график идёт вверх.
  • Отрицательная производная: график идёт вниз.
  • Нулевая производная: график в этой точке горизонтален, например на вершине или во впадине.
Самопроверка В точке, где график f идёт вниз, производная…
  1. не определена
  2. отрицательна
  3. положительна
  4. равна нулю

Ответ: отрицательна. Производная — это наклон. График, идущий вниз слева направо, имеет отрицательный наклон.

2Основные правила

Каждый раз пользоваться пределами не нужно. Несколько правил покрывают большинство функций.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

Это правило степени: вынесите показатель степени вперёд и уменьшите его на единицу. Итак, (x³)′ = 3x² и (x)′ = 1.

  • Константа сама по себе имеет производную 0: она не меняется.
  • Постоянный множитель остаётся: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • В сумме берите производную каждого слагаемого отдельно.

Выучите также: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x и (cos x)′ = −sin x.

Самопроверка Чему равна производная 4x³ − 2x + 7?
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

Ответ: 12x² − 2. Правило степени для каждого слагаемого: (4x³)′ = 12x², (−2x)′ = −2, а константа 7 даёт 0.

3Правила произведения и цепочки

Ещё два правила работают с функциями, составленными из других функций.

Правило произведения, для двух перемножаемых функций:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

Правило цепочки (производная сложной функции), для функции внутри другой функции: возьмите производную внешней функции, оставив внутреннюю как есть, затем умножьте на производную внутренней.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Правило частного следует из этих двух: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

Самопроверка Чему равна производная (2x + 5)³?
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

Ответ: 6(2x + 5)². Внешняя: 3(2x + 5)². Внутренняя: (2x + 5)′ = 2. Умножаем: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². Забыть внутреннюю двойку — классическая ошибка.

4Метод по шагам

  1. Посмотрите на структуру: сумма слагаемых, произведение, частное или функция внутри функции.
  2. Сначала перепишите корни и дроби в виде степеней: √x = x1/2 и 1/x² = x−2.
  3. Применяйте правила снаружи внутрь, по одной части за раз.
  4. Упростите результат.
  5. Если нужно значение, подставляйте число только в конце.

Чтобы найти вершину или впадину графика (экстремум), решите f′(x) = 0. Вторая производная показывает, что это за точка: f″ < 0 — максимум, f″ > 0 — минимум.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Пусть f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. Найдите наклон при x = 0, а также локальный максимум и минимум.

1

Дифференцируйте почленно

Примените правило степени к каждому слагаемому. Константа 1 исчезает.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

Наклон при x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

Значит, касательная при x = 0 поднимается на 9 единиц на каждую единицу вправо.

3

Приравняйте производную к нулю

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

Какая точка — максимум?

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 отрицательна, поэтому x = 1 — максимум. f″(3) = 6 положительна, поэтому x = 3 — минимум.

5

Найдите значения

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

График подтверждает это: горизонтальная касательная в обеих точках, вершина в (1, 5) и впадина в (3, 1).

Ответ

f′(0) = 9. Локальный максимум в (1, 5), локальный минимум в (3, 1).

6Типичные ошибки

  • Забыть о производной внутренней функции в правиле цепочки.
  • Писать (u · v)′ = u′ · v′. В правиле произведения два слагаемых.
  • Путать порядок в правиле частного: в числителе u′v − uv′, со знаком минус.
  • Подставлять число до дифференцирования. Сначала дифференцируйте, потом подставляйте.
  • Считать постоянный множитель, такой как в 5x³, произведением. Всё проще: 5 просто остаётся.
Самопроверка Чему равна производная √x?
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

Ответ: 1/(2√x). √x = x1/2, поэтому производная равна ½x−1/2 = 1/(2√x). Если сначала переписать корень в виде степени, это становится легко.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкие: многочлен. Используйте правило степени и найдите наклон при заданном x.
  • Средние: правило цепочки или произведения, например (2x + 5)⁵ или x²·e−x, в заданной точке.
  • Сложные: касательные и экстремумы. Решите f′(x) = 0 и определите, какая точка — максимум.

Быстрая проверка для задач о наклоне: представьте график. Если в этой точке он идёт вверх, ответ должен быть положительным.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
xyx = 1

Пусть f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. Найдите наклон графика в точке x = 1, то есть f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

Найти: f′(1)

Показать подсказки
  1. Дифференцируйте почленно по правилу (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Константа исчезает.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. Теперь подставьте x = 1.
Показать ответ и пошаговое решение

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Дифференцируйте почленно

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

Подставьте

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

Ответ

f′(1) = −6
Пример 2Средняя
xyx = 1

Пусть f(x) = x3·e−x. Найдите f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Найти: f′(1)

Показать подсказки
  1. Правило произведения с u = x3 и v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Показать ответ и пошаговое решение

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Подставьте

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Ответ

f′(1) = 0,7358
Пример 3Сложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

Найти: x

Показать подсказки
  1. В локальном максимуме или минимуме производная равна нулю.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. У кубической функции с положительным членом x³ сначала идёт максимум (меньшее x), затем минимум.
Показать ответ и пошаговое решение

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

Решите f′(x) = 0

x = 3 или x = 6

Что есть что

f″(x) = 6x − 27: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

Ответ

x = 6

Вопросы и ответы

Производные: что это?

Производная показывает, как быстро что-то меняется. Если положение автомобиля меняется на 50 km каждый час, его скорость равна 50 km/h: это скорость изменения положения.

На графике производная в точке — это наклон кривой в ней: насколько круто она поднимается или опускается, если очень сильно приблизить.

Производные: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.
Производные: какие ошибки самые частые?
  • Забывают производную внутренней функции при дифференцировании сложной функции.
  • Путают порядок в правиле дифференцирования частного.
  • Считают постоянный множитель произведением.
Производные: что вы тренируете?
  • Лёгкая: степенное правило
  • Средняя: цепное правило и правило произведения
  • Сложная: касательные и экстремумы

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Пределы

Далее

ИнтегралыМатематический анализ функций нескольких переменныхЧисленные методыДифференциальные уравненияОптимизацияПоследовательности и ряды

Калькуляторы

Калькулятор производной с шагами решения

Курсы с этой темой

Математический анализ 1Высшая математикаДифференциальные уравненияЗадачи для подготовки к AP Calculus

Другие темы: Математика и статистика

ПределыОптимизацияИнтегралыПоследовательности и рядыМатематический анализ функций нескольких переменныхДифференциальные уравненияКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиВекторы: скалярное и векторное произведенияЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаВероятностьОписательная статистикаНормальное распределениеДоверительные интервалыПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Производные: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: ПроизводныеЗанимайтесь сейчас: ПроизводныеБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.