Критерии хи-квадрат: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: хи-квадрат · критерий Пирсона · критерий χ²
Бесплатные задачи по теме Критерии хи-квадрат с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: согласие с распределением, проверка независимости, решение по критическому значению.
Бесплатная задачаЛёгкая
Производитель конфет заявляет доли цветов, указанные в таблице. Случайная выборка из 200 конфет даёт наблюдаемые частоты. Вычислите статистику критерия согласия хи-квадрат χ² для H₀: заявленные доли верны.
Критерий хи-квадрат (χ²) сравнивает частоты. Он проверяет, отличаются ли наблюдаемые вами частоты от ожидаемых сильнее, чем можно объяснить случайностью.
Пример: вы бросаете кубик 60 раз. Если он правильный, каждая грань должна выпасть примерно 60 · 1/6 = 10 раз. Это ожидаемые частоты E.
Вы наблюдаете 8, 12, 9, 11, 6 и 14. Это наблюдаемые частоты O. Они никогда не равны ровно 10, даже для правильного кубика. Вопрос в том, слишком ли они далеки от 10.
Как и в любой проверке гипотез, H₀ утверждает, что ничего особенного не происходит: кубик правильный или две переменные независимы.
Самопроверка Кубик бросают 120 раз, чтобы проверить, правильный ли он. Какова ожидаемая частота для каждой грани?
1/6
120
20
6
Ответ: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. Вероятность 1/6 — это не частота; её нужно умножить на число бросков.
2Статистика критерия
Для каждой категории возьмите разность O − E, возведите её в квадрат и разделите на E. Затем сложите по всем категориям:
χ² = Σ (O − E)² / E
Возведение в квадрат делает каждое слагаемое положительным. Деление на E приводит к тому, что разность 4 весит больше, когда ожидалось только 10, чем когда ожидалось 1000.
Число степеней свободы для этого критерия согласия равно df = k − 1, где k — число категорий. Шесть граней дают df = 5.
Большое значение χ² означает, что данные плохо согласуются с H₀. Отклоняйте H₀, если χ² больше критического значения из таблицы. При α = 0,05:
df 1: 3,841, df 2: 5,991, df 3: 7,815
df 4: 9,488, df 5: 11,070, df 6: 12,592
Для кубика 4,2 меньше 11,070, поэтому нет оснований считать его неправильным.
Самопроверка У одной категории O = 14 и E = 10. Какой вклад она вносит в χ²?
0,4
1,6
16
4
Ответ: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Если забыть возвести в квадрат, получится 0,4, а если забыть разделить на E — 16.
3Критерий независимости
Таблица сопряжённости считает случаи сразу по двум переменным, например по лечению (строки) и результату (столбцы). H₀: две переменные независимы.
Если они независимы, ожидаемая частота в каждой ячейке следует из итогов:
E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог
Затем χ² вычисляется по той же формуле, что и раньше, по всем ячейкам таблицы, без итогов.
df = (r − 1)(c − 1)
Здесь r — число строк, а c — число столбцов, не считая итогов. У таблицы 2×2 df = 1.
Самопроверка В таблице с общим итогом 120 у ячейки итог по строке 40, а по столбцу 30. Какова её ожидаемая частота?
10
1200
3
70
Ответ: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 получается, если забыть разделить на общий итог.
4Метод по шагам
Сформулируйте H₀: заявленные доли верны (критерий согласия) или переменные независимы.
Вычислите все ожидаемые частоты: E = n · p или итог по строке × итог по столбцу / общий итог.
Для каждой ячейки вычислите (O − E)²/E. Сложите всё, чтобы получить χ².
Найдите df: k − 1 для критерия согласия, (r − 1)(c − 1) для независимости.
Найдите критическое значение для этого df при α = 0,05.
Отклоните H₀, если χ² больше критического значения. Сформулируйте вывод словами.
Проверка: ожидаемые частоты в каждой строке и столбце в сумме дают те же итоги, что и наблюдаемые частоты.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
В испытании 120 пациентов получают новое лекарство (строка A), а 100 — плацебо (строка B). В столбце 1 указано число пациентов, у которых наступило улучшение, в столбце 2 — тех, у кого нет. Проверьте при α = 0,05, не зависит ли результат от лечения.
1
Прочитайте таблицу
Итоги по строкам: 120 и 100. Итоги по столбцам: 110 и 110. Общий итог: 220.
Игральную кость бросают 300 раз, чтобы проверить, правильная ли она. Показано, сколько раз выпала каждая грань. Вычислите статистику критерия согласия хи-квадрат χ² для H₀: каждая грань выпадает с вероятностью 1/6.
n = 300k = 6
Найти: χ²
Показать подсказки
Ожидаемые частоты при H₀: E = n·p для каждой категории.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Сложите (O − E)²/E по всем категориям.
Показать ответ и пошаговое решение
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
df = 5. При α = 0,05 критическое значение равно 11,070, поэтому H₀ не отвергается.
Пример 2Средняя
Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.
N = 1802 × 2
Найти: χ²
Показать подсказки
Ожидаемая частота каждой клетки: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог.
E = 32, 48 | 40, 60.
Сложите (O − E)²/E по всем 4 клеткам.
Показать ответ и пошаговое решение
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.
Пример 3Сложная
Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 6 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?
2 × 6
Найти: df
Показать подсказки
Число степеней свободы показывает, сколько клеток могут свободно меняться, когда итоги (и оцениваемые параметры) зафиксированы.
Согласие с распределением: k − 1, минус один за каждый оцениваемый параметр.
Независимость: (r − 1)(c − 1).
Показать ответ и пошаговое решение
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Степени свободы
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Ответ
df = 5
Вопросы и ответы
Критерии хи-квадрат: что это?
Критерий хи-квадрат (χ²) сравнивает частоты. Он проверяет, отличаются ли наблюдаемые вами частоты от ожидаемых сильнее, чем можно объяснить случайностью.
Пример: вы бросаете кубик 60 раз. Если он правильный, каждая грань должна выпасть примерно 60 · 1/6 = 10 раз. Это ожидаемые частоты E.
Критерии хи-квадрат: как решать задачи шаг за шагом?
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Критерии хи-квадрат: какие ошибки самые частые?
Делите каждую квадратную разность на ожидаемую частоту E, а не на наблюдаемую O.
Делите каждую квадратную разность на её собственную ожидаемую частоту E до суммирования, а не сумму на n.
Ожидаемые частоты получаются из маргинальных итогов, а не равномерным распределением общего итога: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог.
Критерии хи-квадрат: что вы тренируете?
Лёгкая: согласие с распределением
Средняя: проверка независимости
Сложная: решение по критическому значению
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.