Вероятность: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: теория вероятностей · условная вероятность

Бесплатные задачи по теме Вероятность с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: равновозможные исходы, подсчёт и противоположные события, биномиальное распределение.

Бесплатная задачаЛёгкая
сумма ≥ 4кубик 1кубик 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

Бросают два правильных кубика. Какова вероятность P, что сумма будет не меньше 4?

2 кубика≥ 4

Укажите вероятность десятичной дробью от 0 до 1.

Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: ВероятностьЗанимайтесь сейчас: ВероятностьБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяравновозможные исходы
  2. Средняяподсчёт и противоположные события
  3. Сложнаябиномиальное распределение

Основные формулы

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Изучите тему «Вероятность» с нуля

1Что такое вероятность

Вероятность — это число от 0 до 1, показывающее, насколько что-то вероятно. 0 означает, что этого никогда не происходит, 1 — что происходит всегда.

Когда все исходы равновероятны, считайте их:

P(A) = число благоприятных исходов / общее число исходов

В мешке 3 красных, 5 синих и 2 зелёных шара, всего 10. Если вытащить один наугад, P(синий) = 5/10 = 0,5.

У честной игральной кости 6 граней, поэтому P(шесть) = 1/6 ≈ 0,167, а P(чётное) = 3/6 = 0,5.

Вероятность можно записать и в процентах: 0,5 — это 50%. Ответы на экзамене обычно десятичные дроби между 0 и 1.

Самопроверка В мешке 2 красных, 8 синих и 4 зелёных шара. Вы вытаскиваете один наугад. Чему равно P(красный)?
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

Ответ: 2/14 ≈ 0,143. Всего 2 + 8 + 4 = 14 шаров, из них 2 красных: 2/14 ≈ 0,143. Деление на 12 считает только остальные шары, но в сумму должны входить и красные.

2Правила объединения событий

  • Дополнение: P(не A) = 1 − P(A). Используйте его в вопросах «хотя бы один»: P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного).
  • И, независимые события: умножайте. Две честные монеты дают P(два орла) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • Или: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B). Вычитайте пересечение, чтобы не считать его дважды.

Извлечение без возвращения меняет мешок. После того как вы вынули один красный шар, красных становится на один меньше и всего шаров на один меньше.

При 5 красных и 4 синих шарах P(два красных) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Чтобы посчитать группы, где порядок не важен, используйте сочетания. Число способов выбрать k предметов из n равно:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Здесь n! = n · (n − 1) · … · 1. Значит, C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 комитетов по 4 человека из 6.

Самопроверка В мешке 5 красных и 4 синих шара. Вы вытаскиваете два, не возвращая первый. Чему равно P(оба красные)?
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

Ответ: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. Использование 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 забывает, что первого красного шара в мешке уже нет.

3Биномиальное распределение

Некоторые вопросы повторяют одно и то же испытание n раз: проверить 5 деталей, угадать 8 ответов, подбросить монету 3 раза. Каждое испытание успешно с вероятностью p, независимо от других.

Число успехов X тогда подчиняется биномиальному распределению:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: k успехов.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k неудач.
  • C(n, k): число различных порядков, в которых могут оказаться успехи.

Для «не более одного» сложите P(X = 0) и P(X = 1). Для «хотя бы одного» используйте 1 − P(X = 0).

Самопроверка Вы подбрасываете честную монету 3 раза. Какова вероятность ровно 2 орлов?
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

Ответ: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. Если забыть C(3, 2), получится 0,125: это только один порядок, например ООР, а РОО и ОРО тоже считаются.

4Метод по шагам

  1. Запишите, что такое один исход и сколько всего исходов.
  2. Переведите слова: «и» означает умножить, «или» означает сложить (минус пересечение), «не» означает 1 − P.
  3. Для «хотя бы одного» сначала вычислите дополнение «ни одного».
  4. Без возвращения: уменьшайте количества после каждого извлечения. Или считайте сочетаниями.
  5. Повторные независимые испытания с постоянным p: используйте биномиальную формулу.
  6. Проверьте, что ответ лежит между 0 и 1.

Дерево вероятностей помогает, когда шагов несколько: умножайте вдоль ветви и складывайте нужные ветви.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

В мешке 4 красных и 6 синих шаров. Вы вытаскиваете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P того, что хотя бы один из них красный?

1

Используйте дополнение

У «хотя бы одного красного» три случая: красный–красный, красный–синий и синий–красный. Противоположное, «ни одного красного», имеет только один случай: синий–синий.

P(хотя бы один красный) = 1 − P(оба синие)
2

Первое извлечение

Синих шаров 6 из 10.

P(первый синий) = 6/10
3

Второе извлечение

Один синий шар убран, поэтому остаётся 5 синих из 9.

P(оба синие) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

На дереве R — красный шар, B — синий. Жирная ветвь — синий–синий.

4

Возьмите дополнение

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

Проверьте ответ

Посчитайте сочетаниями: всего C(10, 2) = 45 пар, и C(6, 2) = 15 из них синий–синий. 15/45 = 1/3, как и раньше.

Три другие ветви дерева в сумме дают 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 тоже.

Ответ

P = 2/3 ≈ 0,667

6Типичные ошибки

  • Сложение вероятностей для «хотя бы одного» вместо использования 1 − P(ни одного).
  • Забытое уменьшение количеств при извлечении без возвращения.
  • Забытый множитель C(n, k) в биномиальной формуле.
  • Деление на неверное общее число, например только на другие цвета.
  • Получение вероятности выше 1 или ниже 0. Это всегда признак ошибки.
Самопроверка Вы бросаете честную кость дважды. Какова вероятность хотя бы одной шестёрки?
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

Ответ: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(нет шестёрки) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. Сложение 1/6 + 1/6 даёт 1/3, что считает случай двух шестёрок дважды.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: равновероятные исходы. Одно извлечение из мешка с цветными шарами или один бросок кости.
  • Средняя: подсчёт и дополнения. Комитеты с C(n, k) или два извлечения без возвращения.
  • Сложная: биномиальное распределение. Ровно k успехов или «не более одного» как P(X = 0) + P(X = 1).

Давайте ответ в виде десятичной дроби между 0 и 1, округлённой до трёх или четырёх знаков.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

В таблице дано распределение вероятностей X, но одна вероятность отсутствует. Найдите P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

Найти: P(X = 1)

Показать подсказки
  1. Сумма всех вероятностей распределения равна 1.
  2. Сложите известные вероятности.
  3. P = 1 − 0,75.
Показать ответ и пошаговое решение

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Сумма известных вероятностей

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

Недостающая вероятность

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

Ответ

P(X = 1) = 0,25
Пример 2Средняя
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

Найти: Var(X)

Показать подсказки
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. Тогда E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
Показать ответ и пошаговое решение

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

Дисперсия

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

Ответ

Var(X) = 1,848
Пример 3Сложная
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

В тесте 12 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,3, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 12p = 0,3k = 5

Найти: P

Показать подсказки
  1. Это биномиальное распределение: фиксированное число независимых испытаний, одинаковая вероятность успеха.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
Показать ответ и пошаговое решение

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Ответ

P = 0,1585

Вопросы и ответы

Вероятность: что это?

Вероятность — это число от 0 до 1, показывающее, насколько что-то вероятно. 0 означает, что этого никогда не происходит, 1 — что происходит всегда.

Когда все исходы равновероятны, считайте их:

Вероятность: как решать задачи шаг за шагом?

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Вероятность: какие ошибки самые частые?
  • Это сумма известных вероятностей. Недостающая равна 1 минус эта сумма.
  • Значения не равновероятны: используйте то, что сумма всех вероятностей равна 1.
  • E(X²) — это не дисперсия: вычтите μ².
Вероятность: что вы тренируете?
  • Лёгкая: равновозможные исходы
  • Средняя: подсчёт и противоположные события
  • Сложная: биномиальное распределение

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Далее

Статистика доказательной практики

Калькуляторы

Калькулятор биномиального распределенияКалькулятор распределения ПуассонаКалькулятор размещений и сочетаний (nPr и nCr)Калькулятор математического ожидания и дисперсии

Курсы с этой темой

Методы исследования и статистика в психологииОсновы статистикиВысшая математикаЗадачи для подготовки к AP StatisticsCFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью

Другие темы: Математика и статистика

ПределыПроизводныеОптимизацияИнтегралыПоследовательности и рядыМатематический анализ функций нескольких переменныхДифференциальные уравненияКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиВекторы: скалярное и векторное произведенияЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаОписательная статистикаНормальное распределениеДоверительные интервалыПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Вероятность: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: ВероятностьЗанимайтесь сейчас: ВероятностьБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.