Бесплатные задачи по теме Описательная статистика с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: среднее и медиана, стандартное отклонение, нормальное распределение.
Описательная статистика обобщает список чисел, называемых данными, несколькими значениями. Первый вопрос: где находится центр?
Среднее — обычное среднее арифметическое: сложите все значения и разделите на их число n.
x̄ = Σx / n
Символ Σ означает «сложить всё», а x̄ читается «икс с чертой». Для 3, 5 и 10 среднее равно 18/3 = 6.
Медиана — это среднее значение после того, как вы отсортируете данные от меньшего к большему.
Нечётное n: медиана — единственное среднее значение. Для 3, 5, 10 это 5.
Чётное n: медиана — среднее арифметическое двух средних значений.
Одно крайнее значение, выброс, тянет среднее к себе, но почти не сдвигает медиану. Поэтому доходы часто описывают медианой.
Самопроверка Чему равна медиана чисел 4, 40, 29, 22, 17, 20?
20
21
22
25,5
Ответ: 21. После сортировки: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Два средних значения — 20 и 22, поэтому медиана равна 21. 25,5 получается, если взять середину несортированного списка; 22 — это среднее.
2Разброс: стандартное отклонение
Два набора данных могут иметь одинаковое среднее, но очень разный разброс. Стандартное отклонение s показывает, насколько далеко значения обычно лежат от среднего.
У каждого значения есть отклонение x − x̄. Отклонения в сумме дают ноль, поэтому сначала их возводят в квадрат, и все они становятся положительными.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Это выборочное стандартное отклонение: делят на n − 1, а не на n. Квадрат s называется дисперсией.
Для 2, 4 и 6: среднее равно 4, отклонения равны −2, 0 и 2, квадраты в сумме дают 8, 8/2 = 4, и s = √4 = 2.
Самопроверка Чему равно выборочное стандартное отклонение чисел 2, 4 и 6?
0
1,633
2
4
Ответ: 2. Σ(x − x̄)² = 8, делим на n − 1 = 2 и получаем 4, а √4 = 2. Деление на n = 3 даёт 1,633; 4 получается, если забыть про квадратный корень, а 0 — это сумма отклонений до возведения в квадрат.
3z-оценки и нормальное распределение
Многие измерения, например рост или баллы за экзамен, подчиняются колоколообразной кривой: нормальному распределению. Его центр — среднее μ, а ширина — стандартное отклонение σ.
z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего:
z = (x − μ) / σ
При μ = 70 и σ = 10 балл 74 имеет z = 4/10 = 0,4. Отрицательное z означает, что значение лежит ниже среднего.
Правило 68–95–99,7: около 68% значений лежат в пределах 1σ от среднего, 95% — в пределах 2σ и 99,7% — в пределах 3σ.
При μ = 50 и σ = 5 значение 60 имеет z = 2. Около 95% лежит между 40 и 60, поэтому около 2,5% лежит выше 60. Таблица z даёт точное значение 0,0228.
Самопроверка Баллы IQ нормально распределены с μ = 100 и σ = 15. Какой примерно процент людей набирает больше 115?
16%
32%
34%
68%
Ответ: 16%. 115 лежит на 1σ выше среднего. В пределах 1σ находится 68%, значит, 32% лежит вне этих пределов, поровну в обоих хвостах: 16% выше. 32% получается, если забыть разделить на два хвоста.
4Метод по шагам
Запишите данные в строку и посчитайте n.
Среднее: сложите всё и разделите на n.
Медиана: сначала отсортируйте, затем возьмите среднее значение или среднее арифметическое двух средних значений.
Стандартное отклонение: вычтите среднее из каждого значения, возведите в квадрат, сложите, разделите на n − 1, извлеките квадратный корень.
z-оценка: вычтите μ, разделите на σ. Затем используйте правило 68–95–99,7 или таблицу z, чтобы найти долю.
Таблица со столбцами x, x − x̄ и (x − x̄)² помогает аккуратно вычислить стандартное отклонение.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Найдите среднее, медиану и выборочное стандартное отклонение s для данных: 4, 8, 6, 5, 7.
1
Среднее
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
Медиана
После сортировки: 4, 5, 6, 7, 8. При n = 5 среднее значение — третье.
медиана = 6
3
Отклонения и квадраты
Вычтите среднее из каждого значения: −2, 2, 0, −1, 1. Проверка: в сумме они дают 0.
Возведите их в квадрат: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Разделите на n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Извлеките квадратный корень
s = √2,5 ≈ 1,58
Проверка: значения лежат на расстоянии 0, 1 или 2 от среднего, поэтому типичное расстояние около 1,6 выглядит правдоподобно.
Ответ
Среднее x̄ = 6, медиана 6 и s ≈ 1,58.
6Типичные ошибки
Брать середину списка, не отсортировав его.
Делить на n вместо n − 1 при вычислении выборочного стандартного отклонения.
Забывать про квадратный корень в конце, из-за чего получается дисперсия вместо s.
Ошибаться со знаком z-оценки: у значения ниже среднего z отрицательно.
Забывать делить на σ при вычислении z-оценки.
Самопроверка Баллы за экзамен имеют среднее 70 и стандартное отклонение 10. Чему равна z-оценка балла 60?
1
6
−10
−1
Ответ: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. Балл лежит ниже среднего, поэтому z отрицательно. −10 получается, если забыть разделить на σ.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: среднее или медиана короткого списка данных.
Средняя: выборочное стандартное отклонение пяти или шести значений. Делите на n − 1.
Сложная: нормальное распределение. Найдите z-оценку или долю значений выше или ниже заданного.
Быстрая проверка: среднее и медиана лежат между наименьшим и наибольшим значениями, а s никогда не бывает отрицательным.
Упорядочьте значения от наименьшего к наибольшему.
При нечётном числе значений медиана — среднее по порядку значение.
упорядочено: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Показать ответ и пошаговое решение
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Возведите в квадрат каждое отклонение от среднего, сложите, разделите на n − 1 и извлеките корень.
x̄ = 37,71.
Показать ответ и пошаговое решение
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Найти: P
Показать подсказки
Сначала перейдите к z-оценке.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Найдите Φ(z) в таблице стандартного нормального распределения.
Показать ответ и пошаговое решение
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −2
Таблица нормального распределения
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Ответ
P = 0,02275
Вопросы и ответы
Описательная статистика: что это?
Описательная статистика обобщает список чисел, называемых данными, несколькими значениями. Первый вопрос: где находится центр?
Символ Σ означает «сложить всё», а x̄ читается «икс с чертой». Для 3, 5 и 10 среднее равно 18/3 = 6.
Описательная статистика: как решать задачи шаг за шагом?
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Описательная статистика: что вы тренируете?
Лёгкая: среднее и медиана
Средняя: стандартное отклонение
Сложная: нормальное распределение
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.