Нормальное распределение: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: распределение Гаусса · стандартное нормальное распределение · функция Лапласа

Бесплатные задачи по теме Нормальное распределение с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: площадь в одном хвосте, площадь между двумя значениями, процентили.

Бесплатная задачаЛёгкая
μ = 6567,5P = ?

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений больше 67,5 баллов? Найдите P(X > x) в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Нормальное распределениеЗанимайтесь сейчас: Нормальное распределениеБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяплощадь в одном хвосте
  2. Средняяплощадь между двумя значениями
  3. Сложнаяпроцентили

Как решать задачи по теме «Нормальное распределение»

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Типичные ошибки

  • Смотрят таблицу не для того хвоста.
  • Забывают разделить на σ.
  • Берут знак z не тот для процентилей ниже 50%.

Основные формулы

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Изучите тему «Нормальное распределение» с нуля

Перед этим: Описательная статистика

1Колоколообразная кривая

Многие величины, такие как рост, показатели IQ или масса пакетов, выпускаемых машиной, подчиняются нормальному распределению. Большинство значений лежат около середины, а далёкие значения редки.

График — симметричный колокол. У него два числа: среднее μ, где находится вершина, и стандартное отклонение σ, задающее ширину.

7085100μ115130

Главная идея: вероятность — это площадь под кривой. Полная площадь равна 1. Закрашенная левая половина имеет площадь 0,5, поэтому половина всех значений лежит ниже среднего.

Около 68% значений лежат в пределах одного σ от среднего, а около 95% — в пределах двух σ.

Самопроверка Масса пакетов распределена нормально со средним 500 g. Какая доля пакетов весит меньше 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Зависит от σ

Ответ: 0,5. Кривая симметрична относительно среднего, поэтому ровно половина площади лежит ниже μ при любом σ. 0,68 — это площадь в пределах одного σ с обеих сторон.

2z-оценки и таблица

Любое нормальное распределение превращается в одну и ту же стандартную нормальную кривую (среднее 0, σ = 1), если значение x перевести в z-оценку:

z = (x − μ) / σ

Таблица даёт Φ(z): площадь слева от z. Например, Φ(1,2) = 0,8849, поэтому 88,49% значений лежат ниже z = 1,2.

  • Ниже x: P(X < x) = Φ(z).
  • Выше x: P(X > x) = 1 − Φ(z), потому что полная площадь равна 1.
  • Для отрицательного z: Φ(−z) = 1 − Φ(z) по симметрии. Значит, Φ(−1,2) = 0,1151.

Значения, которые вы будете встречать часто: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Самопроверка Φ(1,2) = 0,8849. Чему равно P(Z > 1,2)?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Ответ: 0,1151. Таблица даёт площадь слева. Площадь справа равна 1 − 0,8849 = 0,1151. Прямое использование 0,8849 берёт не тот хвост.

3Между двумя значениями и процентили

Для площади между двумя значениями вычтите две левые площади: всё, что ниже верхнего значения, минус всё, что ниже нижнего.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Процентиль работает в обратную сторону. 90-й процентиль — это значение, слева от которого 90% площади.

  • Найдите z, для которого Φ(z) равно площади. Для 90% z = 1,2816. Для 80% z = 0,8416.
  • Вернитесь к x: x = μ + z · σ.

Для процентиля ниже 50% z отрицательно. У 10-го процентиля z = −1,2816.

Самопроверка Показатели IQ нормальны с μ = 100 и σ = 15. Значение z для 80-го процентиля равно 0,8416. Чему равен 80-й процентиль?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Ответ: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Со знаком минус получилось бы 87,4, то есть 20-й процентиль; 100,8 забывает умножить на σ.

4Метод по шагам

  1. Нарисуйте колоколообразную кривую, отметьте μ и значение(я) и закрасьте нужную площадь.
  2. Переведите каждое значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  3. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева.
  4. Ниже: Φ(z). Выше: 1 − Φ(z). Между: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Для процентиля идите в обратную сторону: площадь → z → x = μ + zσ.
  6. Сравните со своим наброском: закрашенная площадь меньше половины должна давать число меньше 0,5.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Показатели IQ распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 15. Какая доля P лежит между 91 и 121?

1

Набросайте площадь

91x₁100121x₂

Закрашенная площадь охватывает середину и бо́льшую часть правой стороны. Ожидайте число немного больше 0,5.

2

Нижняя z-оценка

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Верхняя z-оценка

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Найдите обе площади

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Вычтите

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Это немного больше 0,5, как и предсказывал набросок.

Ответ

P ≈ 0,645: около 64,5% показателей лежат между 91 и 121.

6Типичные ошибки

  • Выбор не того хвоста: использование Φ(z), когда вопрос требует площадь выше x.
  • Забывать делить на σ при вычислении z-оценки.
  • Сложение двух левых площадей для интервала вместо их вычитания.
  • Неверный знак z для процентиля ниже 50%.
  • Путаница между σ и дисперсией σ². Делите на σ, стандартное отклонение.
Самопроверка Экзаменационные баллы нормальны с μ = 65 и σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Какая доля набирает больше 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Ответ: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, и P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 — это площадь ниже 50: не тот хвост. Большинство студентов набирает больше 50, так что ответ должен быть большим.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: площадь в одном хвосте. Найдите P(X < x) или P(X > x) с одной z-оценкой.
  • Средняя: площадь между двумя значениями, Φ(z₂) − Φ(z₁), как в примере.
  • Сложная: процентили. Найдите значение, ниже которого лежат 80% или 90% данных.

Всегда сначала рисуйте набросок. Десятисекундный набросок устраняет большинство ошибок с хвостами.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
μ = 3236,8P = ?

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений больше 36,8 min? Найдите P(X > x) в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Найти: P(X > x)

Показать подсказки
  1. Переведите в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. Площадь справа равна 1 − Φ(z).
Показать ответ и пошаговое решение

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценка

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Ответ

P = 0,2119

Это 21,19 %.

Пример 2Средняя
750 g769,7 gX + Y?

X нормальна со средним 250 g и стандартным отклонением 4 g; Y независима и нормальна со средним 500 g и стандартным отклонением 9 g. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 769,7 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Найти: P

Показать подсказки
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Показать ответ и пошаговое решение

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Верхний хвост

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275
Пример 3Сложная
μ = 178x = ?20%

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 20%

Найти: x (cm)

Показать подсказки
  1. Действуйте в обратном порядке: найдите по таблице z, при котором Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. Затем x = μ + z·σ.
Показать ответ и пошаговое решение

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Ответ

x = 172,11 cm

Вопросы и ответы

Нормальное распределение: что это?

Многие величины, такие как рост, показатели IQ или масса пакетов, выпускаемых машиной, подчиняются нормальному распределению. Большинство значений лежат около середины, а далёкие значения редки.

График — симметричный колокол. У него два числа: среднее μ, где находится вершина, и стандартное отклонение σ, задающее ширину.

Нормальное распределение: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Нормальное распределение: какие ошибки самые частые?
  • Смотрят таблицу не для того хвоста.
  • Забывают разделить на σ.
  • Берут знак z не тот для процентилей ниже 50%.
Нормальное распределение: что вы тренируете?
  • Лёгкая: площадь в одном хвосте
  • Средняя: площадь между двумя значениями
  • Сложная: процентили

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Описательная статистика

Далее

Доверительные интервалы

Калькуляторы

Калькулятор z-оценки и вероятности нормального распределенияКалькулятор нормального распределения

Курсы с этой темой

Методы исследования и статистика в психологииОсновы статистикиВысшая математикаСтатистика 2: Статистический выводПодготовка к экзамену FE CivilЗадачи для подготовки к AP StatisticsCFA Level I: количественные методы и инструменты с фиксированной доходностью

Другие темы: Математика и статистика

ПределыПроизводныеОптимизацияИнтегралыПоследовательности и рядыМатематический анализ функций нескольких переменныхДифференциальные уравненияКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиВекторы: скалярное и векторное произведенияЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаВероятностьОписательная статистикаДоверительные интервалыПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Нормальное распределение: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Нормальное распределениеЗанимайтесь сейчас: Нормальное распределениеБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.