Калькулятор нормального распределения
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
Эти значения слишком экстремальны для вычисления.
Находите вероятности для любого нормального распределения N(μ, σ²): площадь слева или справа от значения, между двумя значениями или в обоих хвостах. Обратные режимы идут от площади к значению x, так находят процентили и пороговые баллы. В каждом ответе показаны z-оценки и использованные значения Φ, так что их можно сверить с таблицей стандартного нормального распределения.
Пошаговое решение
Основные формулы
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Как найти вероятность для нормального распределения
- Запишите среднее μ и стандартное отклонение σ. Если дана дисперсия σ², сначала извлеките из неё квадратный корень.
- Стандартизируйте каждое значение по формуле z = (x − μ)/σ. Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение лежит выше или ниже среднего.
- Найдите Φ(z), площадь слева от z под кривой стандартного нормального распределения, по таблице или с помощью калькулятора.
- Объедините площади: P(X < a) = Φ(z), P(X > a) = 1 − Φ(z) и P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- Чтобы решить обратную задачу по площади, найдите z, для которого Φ(z) равно площади левого хвоста, а затем вернитесь к x по формуле x = μ + z·σ.
Вопросы и ответы
В чём разница между P(X < a) и P(X ≤ a)?
Для непрерывного распределения, такого как нормальное, разницы нет. Вероятность одного точного значения равна нулю, поэтому P(X < a) = P(X ≤ a). Для дискретных распределений, таких как биномиальное и Пуассона, это не так.
Как найти процентиль нормального распределения?
Используйте обратный режим с площадью левого хвоста. 90-й процентиль — это значение x, для которого P(X < x) = 0,90: z = Φ⁻¹(0,90) = 1,2816, поэтому x = μ + 1,2816σ. Для порога «верхние 10%» используйте площадь правого хвоста 0,10, это даёт то же значение.
Что утверждает правило 68–95–99,7?
Около 68% нормального распределения лежит в пределах одного стандартного отклонения от среднего, около 95% — в пределах двух (точнее, 1,96σ) и около 99,7% — в пределах трёх. Это быстрый способ проверить, находится ли ответ в разумных пределах.
Почему моя таблица z даёт немного другой ответ?
Печатная таблица округляет z до двух знаков после запятой, а Φ(z) — до четырёх. Калькулятор вычисляет Φ численно, гораздо точнее печатной z-таблицы, в том числе далеко на хвостах, и показывает результат с 4 значащими цифрами, поэтому ответы по таблице могут отличаться в последней цифре.
Когда можно использовать нормальное распределение для биномиальной задачи?
Когда np и n(1 − p) оба не меньше примерно 10, биномиальное распределение близко к нормальному с μ = np и σ = √(np(1 − p)). На границе прибавьте или вычтите 0,5 (поправка на непрерывность). Для точного ответа используйте калькулятор биномиального распределения.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Нормальное распределение»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.