Калькулятор биномиального распределения
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,02825 | 0,02825 |
| 1 | 0,1211 | 0,1493 |
| 2 | 0,2335 | 0,3828 |
| 3 | 0,2668 | 0,6496 |
| 4 | 0,2001 | 0,8497 |
| 5 | 0,1029 | 0,9527 |
| 6 | 0,03676 | 0,9894 |
| 7 | 0,009002 | 0,9984 |
| 8 | 0,001447 | 0,9999 |
| 9 | 0,0001378 | 1 |
| 10 | 5,905 × 10⁻⁶ | 1 |
Вычисляйте биномиальные вероятности для n независимых испытаний, в каждом из которых успех наступает с вероятностью p: ровно x успехов, не более x, не менее x, меньше x или больше x. Калькулятор показывает биномиальную формулу, каждое складываемое слагаемое (или более короткое дополнение), среднее np и стандартное отклонение √(np(1 − p)). При n до 30 он также выводит всё распределение в таблице.
Пошаговое решение
Формула биномиальной вероятности
Сложите вероятности
Среднее и стандартное отклонение
Основные формулы
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
Как вычислять биномиальные вероятности
- Убедитесь, что ситуация биномиальная: фиксированное число испытаний n, два исхода в каждом испытании, одинаковая вероятность успеха p каждый раз и независимые испытания.
- Для ровно x успехов используйте P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ, где C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) считает порядки, в которых могут наступить успехи.
- Для «не более x» сложите P(X = 0) вплоть до P(X = x). Для «не менее x» сложите P(X = x) вплоть до P(X = n).
- Если в сумме много слагаемых, используйте дополнение: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- Внимательно переводите слова в неравенства: «меньше 4» — это X ≤ 3, а «больше 4» — это X ≥ 5.
Вопросы и ответы
Каковы среднее и стандартное отклонение биномиального распределения?
Среднее равно μ = np, дисперсия σ² = np(1 − p), поэтому стандартное отклонение σ = √(np(1 − p)). При n = 10 и p = 0,3 получаем μ = 3 и σ = 1,449.
В чём разница между «не менее» и «больше»?
«Не менее 3» включает 3: P(X ≥ 3). «Больше 3» не включает: P(X > 3) = P(X ≥ 4). Для дискретного распределения это разные числа, поэтому выбирайте вариант, соответствующий формулировке вопроса.
Почему калькулятор иногда использует дополнение?
Поскольку все вероятности в сумме дают 1, P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1). Когда у дополнения меньше слагаемых, вручную так быстрее, и шаги показывают именно этот путь. Результат одинаков.
Насколько большим может быть n?
До 10 000 испытаний. Слагаемые вычисляются через логарифмы, поэтому большие факториалы не вызывают переполнения, а вероятности остаются точными.
Когда биномиальное распределение — неподходящая модель?
Когда испытания не независимы или p меняется, например при выборке без возвращения из небольшой группы: это описывается гипергеометрическим распределением. Когда n велико, а p мало, хорошим приближением служит распределение Пуассона с λ = np.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Вероятность»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.