Калькулятор распределения Пуассона
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,01832 | 0,01832 |
| 1 | 0,07326 | 0,09158 |
| 2 | 0,1465 | 0,2381 |
| 3 | 0,1954 | 0,4335 |
| 4 | 0,1954 | 0,6288 |
| 5 | 0,1563 | 0,7851 |
| 6 | 0,1042 | 0,8893 |
| 7 | 0,05954 | 0,9489 |
| 8 | 0,02977 | 0,9786 |
| 9 | 0,01323 | 0,9919 |
| 10 | 0,005292 | 0,9972 |
| 11 | 0,001925 | 0,9991 |
| 12 | 0,0006415 | 0,9997 |
Находите вероятности Пуассона для числа событий в фиксированном интервале, например звонков в час, дефектов на метр или прибытий в минуту. Введите среднюю интенсивность λ и число x, чтобы получить вероятность ровно x событий, не более x, не менее x, меньше x или больше x. Шаги показывают формулу e^(−λ)·λˣ/x! для каждого слагаемого и используют дополнение там, где это короче.
Пошаговое решение
Формула вероятности Пуассона
Используйте дополнение (меньше слагаемых)
Среднее и дисперсия
Основные формулы
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
Как вычислять вероятности Пуассона
- Найдите λ, среднее число событий в интервале, о котором говорится в вопросе. Если интенсивность 3 в час, а вопрос о 2 часах, используйте λ = 6.
- Для ровно x событий используйте P(X = x) = e^(−λ)·λˣ/x!.
- Для «не более x» сложите вероятности от 0 до x.
- Для «не менее x» используйте дополнение P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1), так как сумму до бесконечности выписать нельзя.
- Проверьте ответ по среднему и дисперсии: обе равны λ.
Вопросы и ответы
Когда применимо распределение Пуассона?
Когда события происходят по одному, независимо друг от друга и с постоянной средней интенсивностью, а вы считаете, сколько их приходится на фиксированный интервал времени, длины, площади или объёма.
Каковы среднее и дисперсия распределения Пуассона?
Обе равны λ, поэтому стандартное отклонение равно √λ. Если дисперсия ваших данных намного больше среднего, события, вероятно, сгруппированы, и модель Пуассона подходит плохо.
Может ли λ быть десятичной дробью?
Да. λ — это среднее, поэтому значения вроде 2,5 события в час допустимы. Число событий x должно быть целым.
Как распределение Пуассона связано с биномиальным?
Для биномиального распределения с большим числом испытаний и малой вероятностью успеха распределение Пуассона с λ = np даёт почти те же вероятности. Распространённое практическое правило: n ≥ 20 и p ≤ 0,05.
Почему P(X ≥ 1) равно 1 − e^(−λ)?
Единственный способ получить меньше одного события — не получить ни одного, а P(X = 0) = e^(−λ). Поэтому P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ), что при λ = 2 равно 0,8647.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Вероятность»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.