Калькулятор размещений и сочетаний (nPr и nCr)
Введите свои значения. Ответ и полное решение обновляются по мере ввода.
Результат
Подсчитайте, сколькими способами можно выбрать r элементов из n. Размещения nPr считают упорядоченные расстановки; сочетания nCr считают выборки, в которых порядок не важен. Калькулятор также даёт числа для случая, когда элементы могут повторяться, и работает с точными целыми числами для n и r до 1000: в шагах показаны все цифры, даже у очень больших результатов.
Пошаговое решение
Размещения: порядок важен
Сочетания: порядок не важен
С допустимыми повторениями
Основные формулы
- Перестановки
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- Сочетания
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- С повторениями
- nr, если порядок важен, C(n + r − 1, r), если нет
Как вычислять размещения и сочетания
- Решите, важен ли порядок. Расстановка людей в ряд, награждение первого и второго места или составление кода: порядок важен, поэтому используйте размещения. Выбор команды или карт на руки: порядок не важен, поэтому используйте сочетания.
- Размещения: nPr = n!/(n − r)!, произведение r множителей n·(n − 1)···(n − r + 1).
- Сочетания: nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!. Деление на r! убирает r! порядков каждой выборки.
- Если повторения разрешены, упорядоченные выборки дают nʳ, а неупорядоченные — C(n + r − 1, r).
- Проверьте на малом случае: C(4, 2) = 6 и P(4, 2) = 12, потому что каждую пару можно записать двумя способами.
Вопросы и ответы
В чём разница между размещением и сочетанием?
Размещение — это упорядоченная расстановка, а сочетание — неупорядоченный выбор. Из букв A, B и C можно составить 6 упорядоченных пар (AB, BA, AC, CA, BC, CB), но только 3 неупорядоченные пары ({A, B}, {A, C}, {B, C}).
Почему C(n, r) равно C(n, n − r)?
Выбрать r элементов, которые вы берёте, — то же самое, что выбрать n − r элементов, которые вы оставляете. Например, C(10, 3) = C(10, 7) = 120.
Чему равно 0!?
0! = 1. Благодаря этому формулы работают и на границах: C(n, 0) = C(n, n) = 1, ведь есть ровно один способ выбрать ничего или всё.
Что такое сочетания с повторениями?
Неупорядоченные выборки, в которых один и тот же элемент можно выбирать несколько раз, например 3 шарика мороженого из 10 вкусов. Их число равно C(n + r − 1, r), в этом примере C(12, 3) = 220.
Где сочетания применяются в теории вероятностей?
В биномиальной формуле C(n, x) считает порядки, в которых x успехов могут наступить в n испытаниях. В лотереях и карточных играх вероятность расклада равна числу благоприятных сочетаний, делённому на общее число сочетаний.
Потренируйтесь самостоятельно
Тренировать тему «Вероятность»
Калькулятор даёт ответ. На экзамене нужен метод: отработайте его на новых задачах с подсказками и разобранными решениями.