Последовательности и ряды: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Последовательности и ряды с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: арифметические и геометрические ряды, сходимость и степенные ряды, многочлены Тейлора и Маклорена.

Бесплатная задачаЛёгкая
kak​12345678

Найдите сумму S8 первых 8 членов геометрической прогрессии 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Последовательности и рядыЗанимайтесь сейчас: Последовательности и рядыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяарифметические и геометрические ряды
  2. Средняясходимость и степенные ряды
  3. Сложнаямногочлены Тейлора и Маклорена

Как решать задачи по теме «Последовательности и ряды»

  1. Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
  2. Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
  3. Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
  4. Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Типичные ошибки

  • Использовать n вместо n − 1 в aₙ = a₁ + (n − 1)d или a₁rⁿ⁻¹.
  • Использовать формулу бесконечной суммы при |r| ≥ 1 или с неверным первым членом.
  • Делать вывод о сходимости только потому, что члены стремятся к 0.
  • Переворачивать предел в признаке Даламбера: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, а не обратная ему величина.
  • Забывать факториалы или чередующиеся знаки в многочлене Тейлора.

Основные формулы

Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Бесконечный геометрический ряд
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-ряд
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Признак Даламбера
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Радиус сходимости
R = lim |ck/ck+1|
Многочлен Тейлора
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Ряд Маклорена
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Оценка Лагранжа
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Изучите тему «Последовательности и ряды» с нуля

Перед этим: Пределы, Производные

1Арифметические и геометрические прогрессии

Последовательность — это список чисел a₁, a₂, a₃, …, а ряд — их сумма. Два вида встречаются на каждом экзамене.

Арифметическая прогрессия прибавляет одну и ту же разность d на каждом шаге: 3, 7, 11, 15, … имеет d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Для 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 и S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Обратите внимание на n − 1: от первого до 20-го члена всего 19 шагов.

Геометрическая прогрессия умножает на одно и то же отношение r на каждом шаге: 2, 6, 18, … имеет r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Самопроверка Чему равен 10-й член последовательности 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Ответ: 32. d = 3, поэтому a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Если взять 10·3 вместо 9·3, получится 35.

2Бесконечный геометрический ряд

Продолжайте добавлять члены 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + …, и сумма подползает к 4, но никогда её не превосходит.

nSₙ4123456789233,5

При |r| < 1 член rⁿ в Sₙ стремится к 0, и бесконечная сумма существует:

S = a₁/(1 − r), только при |r| < 1

Здесь a₁ — первый член суммы. Для Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ первый член равен 8·(1/2)² = 2, поэтому S = 2/(1 − 1/2) = 4.

При |r| ≥ 1 члены не убывают, и у ряда нет суммы: он расходится.

Самопроверка Чему равно Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Ответ: 4. Первый член (k = 0) равен 3, а r = 1/4, поэтому S = 3/(1 − 1/4) = 4. Если взять в знаменателе 1 + r, получится 2,4.

3Сходится ли ряд?

У большинства рядов нет простой формулы суммы, но можно всё же решить, конечна ли сумма. Используйте признаки в таком порядке:

  1. Признак n-го члена: если члены не стремятся к 0, ряд расходится. Σ k/(k + 1) расходится, потому что его члены стремятся к 1.
  2. Стандартные ряды: Σ1/kᵖ сходится только при p > 1 (поэтому Σ1/k, гармонический ряд, расходится). Σrᵏ сходится только при |r| < 1.
  3. Сравнение: 1/(k² + 3) меньше 1/k², поэтому Σ1/(k² + 3) тоже сходится.
  4. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 ответа нет. Используйте его для факториалов и k-х степеней.
  5. Знакочередующийся ряд: Σ(−1)ᵏ/k сходится, потому что знаки членов чередуются, а сами члены убывают к 0.

Пример: для Σ k/2ᵏ отношение равно ((k + 1)/k)·(1/2) и стремится к L = 1/2 < 1, поэтому ряд сходится.

Самопроверка Какой из этих рядов расходится?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Ответ: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 — это p-ряд с p = 1/2 ≤ 1, поэтому он расходится. У 1/k² p = 2, (2/3)ᵏ — геометрический ряд с r < 1, а признак Даламбера для 3ᵏ/k! даёт L = 0.

4Степенные ряды и радиус сходимости

Степенной ряд Σ ck(x − x₀)ᵏ — это многочлен без конца. Он сходится при x, достаточно близких к центру x₀.

Признак Даламбера, применённый ко всему члену, даёт радиус сходимости R: ряд сходится при |x − x₀| < R и расходится при |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Пример: у Σ xᵏ/(k·3ᵏ) ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, что стремится к 3. Значит, R = 3, и ряд сходится при −3 < x < 3.

В двух концевых точках признак ответа не даёт; проверяйте их отдельно, если в вопросе нужен полный интервал.

5многочлены Тейлора и Маклорена

Вблизи точки a гладкая функция выглядит как многочлен. Многочлен Тейлора степени n совпадает со значением и первыми n производными в точке a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

При a = 0 он называется многочленом Маклорена. Выучите эти ряды наизусть:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Чем больше членов вы берёте, тем дольше многочлен остаётся близким к функции.

Разобранный пример

Приблизьте e0,5 многочленом Маклорена степени 3 и оцените погрешность.

1

Запишите многочлен

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Подставьте x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Оценка Лагранжа

Погрешность не превышает M·|x|⁴/4!, где M — наибольшее значение 4-й производной eᵗ между 0 и 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Сравните

Калькулятор даёт e0,5 = 1,648721, поэтому истинная погрешность равна 0,0029, что укладывается в оценку.

Ответ

e0,5 ≈ 1,6458, с погрешностью не более 0,0043.

6Типичные ошибки и экзаменационные вопросы

  • Использовать n вместо n − 1 шагов для n-го члена.
  • Писать a/(1 − r) с неверным первым членом, когда сумма начинается не с k = 0.
  • Делать вывод, что ряд сходится, потому что его члены стремятся к 0. Контрпример — Σ1/k.
  • Забывать факториалы в многочлене Тейлора или знаки минус у sin и cos.
  • Использовать |x|ⁿ/n! вместо |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! в оценке погрешности.

Лёгкий: суммы арифметических и геометрических прогрессий. Средний: определение сходимости, признак Даламбера и радиус сходимости. Сложный: многочлены Тейлора, их коэффициенты и оценки погрешности.

Самопроверка Чему равен коэффициент при x³ в ряде Маклорена для sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Ответ: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, а 3! = 6, поэтому коэффициент равен −1/6. Если забыть знак минус, получится 1/6.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
kak​13579111315ε = 0,2

Геометрическая прогрессия aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ убывает. Найдите первый индекс n, для которого aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Найти: n

Показать подсказки
  1. Решите 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 с помощью логарифмов.
  2. ln 0,85 отрицателен: при делении на него неравенство меняет знак.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Показать ответ и пошаговое решение

Арифметические и геометрические ряды: арифметическая прогрессия прибавляет одну и ту же разность d на каждом шаге, aₙ = a₁ + (n − 1)d, а её сумма равна Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Геометрическая прогрессия умножает на одно и то же отношение r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, при этом Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). При |r| < 1 члены убывают достаточно быстро, чтобы существовала бесконечная сумма: S = a₁/(1 − r), где a₁ — первый член суммы.

Неравенство

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Логарифмы

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Проверка

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Ответ

n = 21
Пример 2Средняя
kSn​12345678910S = ?

Найдите сумму S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Найти: S

Показать подсказки
  1. Разложение на простые дроби: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Выпишите первые несколько членов: большинство сокращается (телескопическая сумма).
  3. Остаётся (12/3)·(1 + … + 1/3).
Показать ответ и пошаговое решение

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Простые дроби

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Отмена

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Ответ

S = 7,333
Пример 3Сложная

Функция f(x) = cos x приближается в точке x = 1 её многочленом Маклорена степени n. С оценкой Лагранжа M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! и M = 1 найдите наименьшую степень n, гарантирующую погрешность меньше 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Найти: n

Показать подсказки
  1. Попробуйте n = 1, 2, 3, … и каждый раз вычисляйте 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
  2. Факториал растёт быстро, поэтому хватит нескольких шагов.
  3. Остановитесь на первом n, при котором оценка меньше 1 × 10⁻⁶.
Показать ответ и пошаговое решение

Многочлены Тейлора: вблизи x = a гладкая функция приближается многочленом Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; при a = 0 это многочлен Маклорена. Стандартные ряды: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Оценка остатка по Лагранжу: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, где M — наибольшее значение |f⁽ⁿ⁺¹⁾| между a и x.

n(n + 1)!оценка011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Оценки при возрастающем n

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Наименьшая степень

n = 9

Ответ

n = 9

Вопросы и ответы

Последовательности и ряды: что это?

Для 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 и S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Обратите внимание на n − 1: от первого до 20-го члена всего 19 шагов.

Последовательности и ряды: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Определите тип: арифметическая (постоянная разность), геометрическая (постоянное отношение), стандартный ряд, степенной ряд или многочлен Тейлора.
  2. Для сумм используйте Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) или S = a₁/(1 − r) при |r| < 1, где a₁ — первый член суммы.
  3. Для сходимости: сначала признак n-го члена, затем сравнение с Σ1/kᵖ или с геометрическим рядом, а для факториалов и k-х степеней используйте признак Даламбера или радикальный признак Коши.
  4. Для многочленов Тейлора выпишите f(a), f′(a), f″(a), …, разделите k-ю производную на k! и оцените погрешность по M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Последовательности и ряды: какие ошибки самые частые?
  • Использовать n вместо n − 1 в aₙ = a₁ + (n − 1)d или a₁rⁿ⁻¹.
  • Использовать формулу бесконечной суммы при |r| ≥ 1 или с неверным первым членом.
  • Делать вывод о сходимости только потому, что члены стремятся к 0.
  • Переворачивать предел в признаке Даламбера: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, а не обратная ему величина.
  • Забывать факториалы или чередующиеся знаки в многочлене Тейлора.
Последовательности и ряды: что вы тренируете?
  • Лёгкая: арифметические и геометрические ряды
  • Средняя: сходимость и степенные ряды
  • Сложная: многочлены Тейлора и Маклорена

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

ПределыПроизводные

Курсы с этой темой

Инженерная математика 2Математический анализ 2Численные методыЗадачи для подготовки к AP Calculus

Другие темы: Математика и статистика

ПределыПроизводныеОптимизацияИнтегралыМатематический анализ функций нескольких переменныхДифференциальные уравненияКомплексные числаЧисленные методыМатрицы и определителиВекторы: скалярное и векторное произведенияЛогика высказываний и доказательстваМножества, отношения и функцииТеория графовТеория чисел и модульная арифметикаВероятностьОписательная статистикаНормальное распределениеДоверительные интервалыПроверка гипотез и доверительные интервалыЛинейная регрессия и корреляцияКритерии хи-квадрат

Лист заданий для печати

Последовательности и ряды: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Последовательности и рядыЗанимайтесь сейчас: Последовательности и рядыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.