Численные методы: тренировочные задачи и экзаменационные вопросы

Вычисление ответов, для которых нет формулы: корни уравнений методом бисекции и методом Ньютона–Рафсона, интерполяция по таблицам, численное интегрирование методами трапеций и Симпсона и дифференциальные уравнения методами Эйлера, Хойна и Рунге–Кутты. На экзаменах просят выполнить несколько итераций в таблице и найти размер погрешности.

Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Шпаргалка-пакет (PDF)Листы формул, шаги методов и тренировочные задачи с полными решениями, готовые к печати.

Темы этого курса

  1. Численные методыкорни и интерполяция · методы трапеций и Симпсона · методы Эйлера, Хойна и Рунге–Куттырасчёты
  2. Последовательности и рядыарифметические и геометрические ряды · сходимость и степенные ряды · многочлены Тейлора и Маклоренарасчёты
  3. Матрицы и определителиопределитель 2×2 · 3×3 и произведения · собственные значения и системырасчёты
  4. Дифференциальные уравненияэкспоненциальный рост и убывание · Закон охлаждения Ньютона · линейные первого порядкарасчёты

Советы к экзамену: Численные методы

  • Сохраняйте не менее шести значащих цифр в каждой итерации и округляйте только окончательный ответ.
  • Запишите веса правила интегрирования под таблицей значений, прежде чем что-либо складывать.
  • Используйте многочлены Тейлора, чтобы объяснить погрешность: погрешность метода Эйлера пропорциональна h, метода Симпсона — h⁴.

Разобранные примеры

Численные методыЛёгкая

Метод бисекции начинает с интервала длиной 4. Каждый шаг делит интервал пополам. Сколько шагов n нужно как минимум, прежде чем интервал станет короче 0,0001?

b − a = 4ε = 0,0001

Найти: n

Показать подсказки
  1. После n шагов длина интервала равна (b − a)/2ⁿ.
  2. Решите 4/2ⁿ < 0,0001, то есть 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
Показать ответ и пошаговое решение

Поиск корней и интерполяция: метод бисекции сохраняет интервал [a, b], на котором f меняет знак; на каждом шаге берётся середина c = (a + b)/2 и сохраняется та половина, где знак по-прежнему меняется, так что после n шагов ширина интервала равна (b − a)/2ⁿ. Метод Ньютона (Ньютона–Рафсона) идёт по касательной к оси: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); вблизи простого корня он примерно удваивает число верных цифр на каждом шаге. Линейная интерполяция между двумя табличными точками: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Условие

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Логарифм

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

Проверка

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Ответ

n = 16
Последовательности и рядыСредняя
kSn​12345678910S = ?

Найдите сумму S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Найти: S

Показать подсказки
  1. Разложение на простые дроби: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Выпишите первые несколько членов: большинство сокращается (телескопическая сумма).
  3. Остаётся (12/3)·(1 + … + 1/3).
Показать ответ и пошаговое решение

Сходимость: если члены не стремятся к 0, ряд расходится (необходимый признак сходимости, признак n-го члена). Σ1/kᵖ сходится только при p > 1, а Σrᵏ — только при |r| < 1. Сравнивайте ряд с одним из них, когда его члены при больших k ведут себя так же. Признак Даламбера: L = lim |ak+1/ak|; радикальный признак Коши: L = lim |ak|1/k. При L < 1 ряд сходится, при L > 1 расходится, при L = 1 вывода нет. Степенной ряд Σck(x − x₀)ᵏ сходится при |x − x₀| < R, где R = lim |ck/ck+1|; знакочередующийся ряд с членами, убывающими к 0, сходится.

Простые дроби

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Отмена

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Ответ

S = 7,333

Как проходят занятия

  • «Заниматься по этому курсу» смешивает задачи из всех его тем, как на настоящем экзамене.
  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Пробные экзамены ограничены по времени и идут без подсказок, а в конце вы получаете результат и полный разбор.

Калькуляторы для этого курса

Калькулятор определителя и обратной матрицыКалькулятор собственных значений и собственных векторовКалькулятор периода полураспада и экспоненциального распадаКалькулятор систем линейных уравнений (2×2 и 3×3)

Похожие курсы

Инженерная математика 2Высшая математикаДифференциальные уравненияМатематический анализ 2Задачи для подготовки к AP CalculusМатематический анализ 1Основы статистикиСтатистика 2: Статистический вывод
Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.