Инженерная математика 2: тренировочные задачи и экзаменационные вопросы

Второй курс математики для инженеров: дифференциальные уравнения второго порядка, матрицы и векторы, методы интегрирования с объёмами тел вращения, частные производные и двойные интегралы, ряды и многочлены Тейлора, преобразование Лапласа и свёртка. Это инструменты, на которых строятся курсы по цепям, колебаниям и управлению.

Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Шпаргалка-пакет (PDF)Листы формул, шаги методов и тренировочные задачи с полными решениями, готовые к печати.

Темы этого курса

  1. Дифференциальные уравненияэкспоненциальный рост и убывание · Закон охлаждения Ньютона · линейные первого порядкарасчёты
  2. Матрицы и определителиопределитель 2×2 · 3×3 и произведения · собственные значения и системырасчёты
  3. Векторы: скалярное и векторное произведениямодуль и компоненты · скалярное произведение · векторное произведение и моментырасчёты
  4. Интегралымногочлены · экспоненты, логарифмы и замена переменной · площади между кривымирасчёты
  5. Математический анализ функций нескольких переменныхчастные производные и двойные интегралы · градиент, касательная плоскость и цепное правило · критические точки и интегралы по областямрасчёты
  6. Последовательности и рядыарифметические и геометрические ряды · сходимость и степенные ряды · многочлены Тейлора и Маклоренарасчёты
  7. Преобразования Лапласатаблица пар и теоремы о значениях · обратное преобразование разложением на простые дроби · Дифференциальные уравнения и передаточные функциирасчёты
  8. Свёртка и линейные стационарные системыдискретная свёртка · непрерывная свёртка · импульсная характеристика и ряд Фурьерасчёты

Советы к экзамену: Инженерная математика 2

  • Для линейного ДУ сначала запишите характеристическое уравнение: его корни определяют вид решения.
  • При интегрировании по частям выбирайте в качестве u тот множитель, который упрощается при дифференцировании.
  • Используйте таблицу преобразований Лапласа и разложение на простые дроби, а не интегрируйте изображение вручную.

Разобранные примеры

Дифференциальные уравненияЛёгкая
rr² + br + c?

Для уравнения y″ + 4y′ + 3y = 0 найдите корень r характеристического уравнения, ближайший к нулю. Он определяет, как медленно затухает решение.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Найти: r

Показать подсказки
  1. Подставьте y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Разложите на множители или используйте формулу корней квадратного уравнения.
Показать ответ и пошаговое решение

Линейные уравнения второго порядка: для y″ + b·y′ + c·y = 0 ищите решение в виде y = ert: это даёт характеристическое уравнение r² + b·r + c = 0. Два различных вещественных корня r₁ ≠ r₂ дают y = A·er₁t + B·er₂t (апериодический режим, передемпфированный); двойной корень r даёт y = (A + Bt)·ert (критическое затухание); комплексные корни −α ± jω дают y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (колебательный режим, недодемпфированный). Начальные значения y(0) и y′(0) определяют A и B. В записи y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 величина ωn — собственная частота, а ζ — коэффициент демпфирования: при ζ < 1 возникают колебания. При постоянном входе y″ + by′ + cy = c·K решение равно установившемуся значению K плюс свободный отклик.

Характеристическое уравнение

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Корни

r = −1, r = −3
ближайший к нулю: r = −1

Ответ

r = −1

Общее решение имеет вид y = A·e−1t + B·e−3t.

Матрицы и определителиСредняя
A =−153−5−1−3−513

Найдите определитель det A показанной матрицы 3×3 A.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Найти: det A

Показать подсказки
  1. Разложите по первой строке со знаками + − +.
  2. Каждое слагаемое — элемент, умноженный на определитель 2×2, оставшийся после вычёркивания его строки и столбца.
  3. миноры: 0, −30, −10.
Показать ответ и пошаговое решение

Матрицы: определитель матрицы 2×2 равен ad − bc. Для 3×3 разложите по строке: каждый элемент умножается на определитель матрицы 2×2, оставшейся после вычёркивания его строки и столбца, с чередующимися знаками + − +. Собственные значения λ удовлетворяют det(A − λI) = 0; для 2×2 это λ² − (след)·λ + det = 0.

Миноры 2×2 первой строки

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Разложение по строке

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Ответ

det A = 120

Как проходят занятия

  • «Заниматься по этому курсу» смешивает задачи из всех его тем, как на настоящем экзамене.
  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Пробные экзамены ограничены по времени и идут без подсказок, а в конце вы получаете результат и полный разбор.

Калькуляторы для этого курса

Калькулятор обратного преобразования Лапласа (разложение на простые дроби)Калькулятор преобразования ЛапласаКалькулятор определителя и обратной матрицыКалькулятор собственных значений и собственных векторовКалькулятор периода полураспада и экспоненциального распадаКалькулятор систем линейных уравнений (2×2 и 3×3)Калькулятор интегралов (определённых и неопределённых)

Похожие курсы

Высшая математикаМатематический анализ 2Численные методыЗадачи для подготовки к AP CalculusДифференциальные уравненияСигналы и системыМатематический анализ 1Статика
Занимайтесь по этому курсу бесплатноЗаниматься по этому курсуПройти пробный экзаменБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.