Преобразования Лапласа: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: преобразование Лапласа · операторный метод · передаточная функция
Бесплатные задачи по теме Преобразования Лапласа с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: таблица пар и теоремы о значениях, обратное преобразование разложением на простые дроби, Дифференциальные уравнения и передаточные функции.
Бесплатная задачаЛёгкая
Сигнал f(t) имеет преобразование Лапласа F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10)). С помощью теоремы о конечном значении найдите значение f(∞), к которому приходит f(t).
Цепи, двигатели и баки описываются дифференциальными уравнениями: выход зависит от собственной скорости изменения. Решать их напрямую долго.
Преобразование Лапласа превращает такую задачу в алгебру. Вы заменяете каждую функцию времени f(t) функцией F(s) новой переменной s.
Вы решаете задачу обычной алгеброй по s, а затем переводите результат обратно во время. Этот последний шаг — обратное преобразование.
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt
Сам интеграл вы используете редко. На практике вы ищете пары преобразования в таблице, как слова в словаре между двумя языками.
На рисунке показаны три распространённых сигнала: константа 1 (ступенька), затухающая экспонента и синусоида. Под каждым — его преобразование.
Самопроверка Чему равно преобразование Лапласа постоянного сигнала f(t) = 5?
1/(5s)
5/s
5
5s
Ответ: 5/s. Постоянный множитель остаётся впереди, а ℒ{1} = 1/s. Значит, ℒ{5} = 5/s. Ответ 5 забывает, что преобразование константы всегда несёт множитель 1/s.
2Таблица пар преобразования
Выучите эти пять пар. Вместе с двумя правилами они охватывают почти все экзаменационные задачи.
1 ↔ 1/s e−at ↔ 1/(s + a) t·e−at ↔ 1/(s + a)² sin ωt ↔ ω/(s² + ω²) cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
Линейность: константы остаются впереди, а сумма преобразуется почленно. Значит, 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t.
Сдвиг: замена s на s + a умножает функцию времени на e−at. Значит, (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t.
Следите за парой синуса: в числителе должна стоять сама ω. Для 12/(s² + 9) ω = 3, поэтому запишите 12 = 4·3. Результат: 4·sin 3t.
В sin ωt и cos ωt угол ωt выражен в радианах. Перед вычислением переключите калькулятор в радианы.
Разобранный пример
Найдите f(t) для F(s) = 6/(s + 3) + 2/s и вычислите f(0,5).
1
Сопоставьте каждое слагаемое с парой
6/(s + 3) имеет вид 1/(s + a) с a = 3, умноженный на 6. Слагаемое 2/s — это константа 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
Запишите f(t)
Сложите две части (линейность):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
Вычислите при t = 0,5
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
Ответ
f(t) = 6·e−3t + 2, поэтому f(0,5) ≈ 3,34.
Самопроверка Чему равно обратное преобразование 8/(s² + 16)?
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
Ответ: 2·sin 4t. ω² = 16, поэтому ω = 4. Паре нужна 4 в числителе: 8 = 2·4, что даёт 2·sin 4t. 8·sin 4t забывает разделить на ω. Косинус соответствует s в числителе.
3Начальное и конечное значения без обращения
Иногда нужно знать только, откуда f(t) начинается или где заканчивается. Две теоремы дают это прямо из F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
Начальное значение (s → ∞): при очень большом s учитывается только старшая степень s в числителе и знаменателе.
Конечное значение (s → 0): сократите множитель s, затем положите s = 0 во всех оставшихся множителях, включая нули.
Теорема о конечном значении работает, только если f(t) действительно устанавливается: все полюсы s·F(s) должны иметь отрицательную вещественную часть.
Конечное значение: для F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) получаем s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). При s = 0 это 12/6 = 2, поэтому f(∞) = 2.
Начальное значение: для F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) получаем s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). При большом s это ведёт себя как 3s²/s², поэтому f(0⁺) = 3.
Для начального наклона f′(0⁺) используйте преобразование производной, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Затем примените к нему теорему о начальном значении:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
Для той же F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Умножьте на s и устремите s → ∞. Старшие степени дают −5s²/s², поэтому f′(0⁺) = −5.
Ответ: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5)), что при s = 0 равно 20/20 = 1. Пропуск нулевого множителя (s + 2) даёт 0,5. Значение 0 — это предел s → ∞, то есть начальное значение.
4Разложение на простые дроби по шагам
Большинство F(s) нет в таблице в готовом виде. Вы разбиваете их на простые дроби, которые есть. Это называется разложением на простые дроби.
Каждый корень знаменателя — полюс. Простой полюс при s = −a даёт одно слагаемое A/(s + a), которое во времени становится A·e−at.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
Правило закрывания находит каждый коэффициент. Чтобы найти A, закройте множитель (s + a) в F(s) и подставьте s = −a во всё оставшееся.
Пример: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Тогда A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 и B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Значит, f(t) = 2e−t − e−4t.
Положение полюса показывает форму. Вещественный полюс при −3 даёт чистый спад e−3t. Комплексная пара −1 ± j2 даёт затухающее колебание, e−t умножить на sin 2t или cos 2t.
Кратный полюс (s + a)²: запишите A/(s + a) + B/(s + a)². Второе слагаемое даёт B·t·e−at. Значит, (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t.
Разложите знаменатель на множители и перечислите полюсы. Для квадратного трёхчлена найдите его корни или выделите полный квадрат.
Запишите по одной дроби на полюс: A/s, B/(s + a) и так далее. Кратный полюс также получает слагаемое в квадрате.
Найдите каждый коэффициент по правилу закрывания. Сохраняйте знаки оставшихся множителей.
Переведите каждое слагаемое обратно во время по таблице.
Подставьте время t (радианы для синуса и косинуса). Проверьте f(0⁺) и f(∞) теоремами о значениях.
Самопроверка F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3). Чему равно A?
2
4
−1
−2
Ответ: 2. Закройте (s + 1) и подставьте s = −1 в остальное: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. Значение −1 — это B. 4 получается, если забыть разделить на оставшийся множитель, а −2 — если перевернуть знак оставшегося множителя: 4/(−2) вместо 4/2.
5Разобранный пример
Это типичный вопрос среднего уровня. Попробуйте каждый шаг сами, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Найдите f(t) для F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) разложением на простые дроби и вычислите f(0,5).
1
Составьте дроби
Знаменатель уже разложен на множители. Полюсы: s = 0, s = −2 и s = −3, все простые.
F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2
Закрывание для A
Закройте множитель s и подставьте s = 0 в остальное:
A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3
Закрывание для B и C
Закройте (s + 2) и подставьте s = −2. Затем закройте (s + 3) и подставьте s = −3. Сохраняйте каждый знак.
B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4
Обратно во время
Каждое слагаемое — пара из таблицы: 2/s ↔ 2, а B/(s + a) ↔ B·e−at.
При t = 0: 2 − 6 + 4 = 0. Теорема о начальном значении согласуется, потому что s·F(s) → 0 при большом s.
При t → ∞ остаётся только 2. Теорема о конечном значении тоже даёт 12/(2·3) = 2.
Ответ
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t, поэтому f(0,5) ≈ 0,685.
6Типичные ошибки
Путаница теорем: s → ∞ даёт начальное значение f(0⁺), а s → 0 даёт конечное значение f(∞).
Забытый множитель s в s·F(s) или пропуск нулевого множителя, например (s + 2), при s = 0.
Ошибки знаков в правиле закрывания: при s = −3 множитель (s + 2) равен −1, а не 5.
Использование пары синуса без деления на ω: ω/(s² + ω²) требует ω в числителе.
Вычисление sin ωt или cos ωt на калькуляторе в градусах. Угол ωt выражен в радианах.
Использование теоремы о конечном значении, когда f(t) не устанавливается, например F(s) = 1/(s² + 4) — чистая синусоида.
Самопроверка F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). Чему равен по правилу закрывания коэффициент B при e−3t?
3
6
−2
−3
Ответ: −3. Закройте (s + 3) и подставьте s = −3 в остальное: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. Положительное 3 — ошибка знака (это коэффициент A при e−t). −2 делит на значение полюса вместо оставшегося множителя.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: пары из таблицы и теоремы о значениях. Вы обращаете константу, экспоненту, t·e−at, синус или косинус и вычисляете её либо находите f(0⁺), f(∞) или начальный наклон f′(0⁺).
Средняя: обратные преобразования разложением на простые дроби. Вы находите один коэффициент A, обращаете три простых полюса s(s + a)(s + b), кратный полюс или комплексные полюсы выделением полного квадрата.
Сложная: дифференциальные уравнения и передаточные функции, например y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) с заданными начальными значениями. Вы находите y в заданный момент времени.
Для сложного уровня преобразуйте каждую производную вместе с её начальными условиями:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
Затем решите алгебраическое уравнение относительно Y(s) и обратите его разложением на простые дроби, как в разобранном примере.
Сигнал f(t) имеет преобразование Лапласа F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). С помощью теоремы о конечном значении найдите значение f(∞), к которому приходит f(t).
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
Найти: f(∞)
Показать подсказки
Теорема о конечном значении: f(∞) = lim s·F(s) при s → 0.
Сначала проверьте, что все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости, чтобы f(t) действительно установилась.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
Показать ответ и пошаговое решение
Преобразование Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt превращает производные в умножение на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартные пары: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а сдвиг s → s + σ умножает функцию времени на e−σt. Чтобы найти оригинал рациональной F(s), разложите её на простые дроби: вычет простого полюса p равен A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема о конечном значении: f(∞) = lims→0 s·F(s), верна только когда все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости. Теорема о начальном значении: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Проверьте применимость теоремы
Теорема верна только когда f(t) устанавливается; полюс на мнимой оси или в правой полуплоскости дал бы неверный ответ.
Полюсы s·F(s): s² + 2s + 23 = 0, все в левой полуплоскости.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). Её оригинал имеет вид f(t) = A·e−6t + B·e−8t. Найдите коэффициент A разложением на простые дроби.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)
Найти: A
Показать подсказки
Разложите знаменатель на множители: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
Правило закрытия: A = [(s + 6)·F(s)] при s = −6.
При s = −6: числитель 16, другой множитель 2.
Показать ответ и пошаговое решение
Преобразование Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt превращает производные в умножение на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартные пары: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а сдвиг s → s + σ умножает функцию времени на e−σt. Чтобы найти оригинал рациональной F(s), разложите её на простые дроби: вычет простого полюса p равен A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема о конечном значении: f(∞) = lims→0 s·F(s), верна только когда все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости. Теорема о начальном значении: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Разложение знаменателя на множители
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
Правило закрытия
Умножьте на (s + 6) и положите s = −6: слагаемое с B обращается в нуль.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
Ответ
A = 8
(B = −7, поэтому f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
Пример 3Сложная
Система подчиняется уравнению y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t), где y(0) = 5 и y′(0) = 0. В момент t = 0 подаётся ступенчатый вход u(t) = 5. С помощью преобразования Лапласа найдите y(0,6).
Преобразование Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt превращает производные в умножение на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартные пары: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а сдвиг s → s + σ умножает функцию времени на e−σt. Чтобы найти оригинал рациональной F(s), разложите её на простые дроби: вычет простого полюса p равен A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема о конечном значении: f(∞) = lims→0 s·F(s), верна только когда все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости. Теорема о начальном значении: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Преобразование уравнения
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
Простые дроби
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
Результат
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
Ответ
y(0,6) = 10,31
Проверка: y(0) = A + B + C = 5.
Вопросы и ответы
Преобразования Лапласа: что это?
Цепи, двигатели и баки описываются дифференциальными уравнениями: выход зависит от собственной скорости изменения. Решать их напрямую долго.
Вы решаете задачу обычной алгеброй по s, а затем переводите результат обратно во время. Этот последний шаг — обратное преобразование.
Преобразования Лапласа: как решать задачи шаг за шагом?
Преобразование Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt превращает производные в умножение на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартные пары: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а сдвиг s → s + σ умножает функцию времени на e−σt. Чтобы найти оригинал рациональной F(s), разложите её на простые дроби: вычет простого полюса p равен A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема о конечном значении: f(∞) = lims→0 s·F(s), верна только когда все полюсы s·F(s) лежат в левой полуплоскости. Теорема о начальном значении: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Преобразования Лапласа: какие ошибки самые частые?
При s = 0 множитель s² + 2s + 23 равен своему свободному члену 23.
Берите предел s → 0, а не s = 1.
Это B, коэффициент при e−8t. A относится к полюсу s = −6.
Преобразования Лапласа: что вы тренируете?
Лёгкая: таблица пар и теоремы о значениях
Средняя: обратное преобразование разложением на простые дроби
Сложная: Дифференциальные уравнения и передаточные функции
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.