Бесплатные задачи по теме Структурные схемы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: последовательное, параллельное соединение и обратная связь, передаточные функции замкнутых систем и ошибки, возмущения, устойчивость и полюсы.
Бесплатная задачаЛёгкая
Сигнал R разделяется на два параллельных блока G₂ = 11 и G₃ = 8. Их выходы встречаются в сумматоре с показанными знаками (+ and +), а сумма проходит через G₁ = 9. Найдите общий коэффициент передачи T = C/R.
Система управления — это цепочка частей: регулятор, двигатель, датчик. На структурной схеме каждая часть рисуется блоком, а каждый сигнал — стрелкой.
Блок умножает входной сигнал на свой коэффициент усиления или передаточную функцию G. Если в блок G = 5 входит 3, то выходит 15.
Сумматор (круг) складывает или вычитает сигналы. Знак рядом с каждой входящей стрелкой показывает, что именно. Точка — это точка съёма: сигнал копируется, а не делится.
Это самая важная картина в теории управления. Выход C измеряется через H и вычитается из задающего воздействия R. Разность E = R − H·C — это ошибка, управляющая G.
Это отрицательная обратная связь: когда выход слишком высок, ошибка уменьшается и тянет его обратно вниз.
Самопроверка В сумматор R входит со знаком +, а сигнал обратной связи B — со знаком −. R = 10 и B = 4. Что выходит из сумматора?
14
40
6
−6
Ответ: 6. Знаки у сумматора дают E = R − B = 10 − 4 = 6. 14 игнорирует минус, а −6 вычитает в обратную сторону.
2Три правила для упрощения любой схемы
Вы упрощаете схему шаг за шагом, пока не останется один блок. Его коэффициент T = C/R — это передаточная функция замкнутой системы.
Последовательно: блоки один за другим перемножаются, G₁·G₂.
Параллельно: блоки, подающие сигнал в один сумматор, складываются со знаками сумматора: G₁ + G₂ или G₁ − G₂.
Контур обратной связи: прямой блок G с отрицательной обратной связью H становится G/(1 + G·H).
Правило обратной связи следует из двух уравнений. В сумматоре E = R − H·C, а блок даёт C = G·E. Значит, C = G·R − G·H·C, и поэтому:
T = C/R = G/(1 + G·H)
При положительной обратной связи сигнал в сумматоре добавляется, и знак в знаменателе меняется: T = G/(1 − G·H).
Произведение G·H — это коэффициент усиления контура. Когда он велик, T близко к 1/H: коэффициент усиления определяет датчик, а не объект управления.
Самопроверка G₁ = 2 и G₂ = 5 включены последовательно, с отрицательной обратной связью H = 0,3. Чему равно T = C/R?
0,75
10
2,5
−5
Ответ: 2,5. G = 2·5 = 10 и G·H = 3, поэтому T = 10/(1 + 3) = 2,5. Значение 10 игнорирует контур, −5 использует 1 − G·H, а 0,75 ставит H в числитель.
3Контуры с передаточными функциями
Реальные блоки зависят от s, например двигатель G(s) = b/(s + a). Применимы те же правила. Затем вы убираете дроби внутри дробей.
При единичной обратной связи (H = 1) умножьте числитель и знаменатель G/(1 + G) на (s + a):
T(s) = b/(s + a + b)
Полюс замкнутой системы — корень знаменателя: p = −(a + b). Он лежит левее полюса разомкнутой системы −a, поэтому контур быстрее.
Постоянная времени равна τ = 1/(a + b).
Статический коэффициент усиления равен T(0) = b/(a + b). Ступенька величиной A устанавливается на уровне css = A·T(0).
При коэффициенте усиления датчика H знаменатель становится s + a + b·H.
Установившаяся ошибка ess — это то, что остаётся от R − C после установления. При единичной обратной связи используйте константы ошибок:
Для ступеньки величиной A: ess = A/(1 + Kp), где константа положения Kp = G(0).
Для линейно нарастающего сигнала r(t) = A·t: ess = A/Kv, где константа скорости Kv = lims→0 s·G(s).
Для G(s) = 8/(s(s + 4)) множитель s сокращается: Kv = 8/4 = 2. Тогда линейно нарастающий сигнал r(t) = 1·t оставляет ess = 1/2 = 0,5.
Для контура второго порядка, например G(s) = K/(s(s + 6)), замкнутая система имеет s² + 6s + K = 0. Два равных вещественных полюса (критическое демпфирование) требуют 6² = 4K, то есть K = 9.
Разобранный пример
G(s) = 6/(s + 2) помещена в контур с единичной отрицательной обратной связью. Найдите полюс замкнутой системы, постоянную времени и установившийся выход для ступеньки величиной 4.
1
Замкните контур
T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)
2
Полюс и постоянная времени
Полюс — это корень s + 8 = 0.
p = −8, τ = 1/8 = 0,125 s
3
Установившийся выход
Положите s = 0 для статического коэффициента усиления, затем умножьте на величину ступеньки.
T(0) = 6/8 = 0,75, css = 4·0,75 = 3
Ошибка равна 4 − 3 = 1. Константа Kp = G(0) = 3 даёт то же: 4/(1 + 3) = 1.
Ответ
p = −8, τ = 0,125 s и css = 3.
Самопроверка G(s) = 6/(s + 2) находится в контуре с единичной отрицательной обратной связью. Какое число является полюсом замкнутой системы?
8
−0,125
−2
−8
Ответ: −8. T(s) = 6/(s + 8), поэтому полюс равен −8. −2 — полюс разомкнутой системы до обратной связи. Полюс — это значение s, поэтому здесь он отрицателен, а −0,125 путает его с τ = 1/8.
4Метод по шагам
Найдите самый внутренний контур. Упростите его первым по G/(1 + G·H) или G/(1 − G·H) при положительной обратной связи.
Объедините блоки последовательно (умножьте) и параллельно (сложите со знаками сумматора).
Повторяйте, пока не останется один блок. Этот блок — T(s) = C/R.
Уберите дроби: умножьте числитель и знаменатель на знаменатели G(s).
Прочитайте, что спрашивается: полюсы из знаменателя, T(0) для установившегося режима, τ = 1/(модуль полюса) для контура первого порядка.
Быстрая проверка: при s = 0 схему можно упростить обычными числами. Это сразу даёт T(0) и ловит большинство алгебраических ошибок.
5Разобранный пример
Это типичный вопрос среднего уровня с внутренним контуром. Попробуйте каждый шаг, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Объект G(s) = 3/(s + 1) имеет внутренний контур с отрицательной обратной связью H₁ = 1. Регулятор K = 4 и внешний контур с единичной отрицательной обратной связью замыкают систему. Найдите полюс замкнутой системы p и статический коэффициент усиления T(0).
1
Посмотрите на схему
Есть два контура. Внутренний охватывает только объект. Внешний охватывает всё, от C обратно к R.
2
Упростите внутренний контур
Используйте G/(1 + G·H₁) и умножьте числитель и знаменатель на (s + 1):
Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)
3
Последовательно с регулятором
K и Gᵢ теперь соединены последовательно, поэтому перемножьте:
K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)
4
Замкните внешний контур
Единичная обратная связь вокруг 12/(s + 4):
T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)
Полюс p = −16, а T(0) = 12/16 = 0,75.
5
Проверьте ответ
Повторите при s = 0 только с числами. G(0) = 3, внутренний контур даёт 3/(1 + 3) = 0,75, а K делает это 3.
Внешний контур даёт 3/(1 + 3) = 0,75. Это совпадает с T(0).
Ответ
T(s) = 12/(s + 16), поэтому p = −16 и T(0) = 0,75.
6Типичные ошибки
Использование 1 − G·H для отрицательной обратной связи. Отрицательная обратная связь даёт 1 + G·H, положительная даёт 1 − G·H.
Помещение H в числитель. T = G/(1 + G·H): H входит только в коэффициент усиления контура.
Замыкание внешнего контура раньше внутреннего. Всегда работайте изнутри наружу.
Забытый коэффициент усиления датчика H в полюсе: знаменатель равен s + a + b·H, а не s + a + b.
Указан полюс разомкнутой системы −a или коэффициент усиления разомкнутой системы G(0). Обратная связь меняет оба.
Использование A/Kp для ошибки по ступеньке. Правильная формула — A/(1 + Kp).
Самопроверка Усилитель G = 10 имеет положительную обратную связь H = 0,05: сигнал обратной связи добавляется в сумматоре. Чему равно T = C/R?
0,5
10
20
6,67
Ответ: 20. Положительная обратная связь даёт T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0,5) = 20. Значение 6,67 использует формулу отрицательной обратной связи 10/1,5. 10 игнорирует контур, а 0,5 — это только коэффициент усиления контура G·H.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: последовательное, параллельное соединение и обратная связь. Вы упрощаете коэффициенты в контуре, параллельные блоки со знаками или положительную обратную связь. Либо вы замыкаете единичный контур вокруг b/(s + a) и указываете полюс, τ, T(0) или css.
Средняя: передаточные функции замкнутой системы и ошибки. Внутренний контур, как в примере, коэффициент усиления датчика H, коэффициент K для критического демпфирования или установившаяся ошибка для ступеньки или линейно нарастающего сигнала.
Сложная: возмущения, устойчивость и полюсы. Возмущение D, добавленное на входе объекта, или наибольший коэффициент усиления Kmax для устойчивости по критерию Рауса–Гурвица.
Для возмущения используйте суперпозицию: найдите C от R при D = 0, затем C от D при R = 0 и сложите оба.
Сигнал R разделяется на два параллельных блока G₂ = 7 и G₃ = 12. Их выходы встречаются в сумматоре с показанными знаками (+ and −), а сумма проходит через G₁ = 10. Найдите общий коэффициент передачи T = C/R.
G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12знаки: + G₂, − G₃
Найти: T
Показать подсказки
Параллельные блоки, подключённые к сумматору, складываются с учётом знаков в сумматоре.
Эта комбинация последовательна с G₁, поэтому перемножьте.
G₂ − G₃ = -5.
Показать ответ и пошаговое решение
Алгебра структурных схем: блоки, соединённые последовательно, перемножаются (G₁·G₂), блоки, соединённые параллельно, складываются (G₁ + G₂), а контур с прямым путём G и обратной связью H сводится к T = G/(1 + G·H) при отрицательной обратной связи и G/(1 − G·H) при положительной. Сначала упрощайте внутренние контуры, затем двигайтесь наружу. Полюсы замкнутой системы — корни характеристического уравнения 1 + G(s)H(s) = 0. Для устойчивого контура ступенчатый вход величиной A даёт установившийся выход A·T(0); при единичной обратной связи установившаяся ошибка по ступеньке равна A/(1 + Kp), где Kp = G(0).
Параллельные блоки
G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5
Последовательно с G₁
T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50
Ответ
T = −50
Пример 2Средняя
У контура с единичной отрицательной обратной связью G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). На задающее воздействие подаётся ступенька величиной 2. Найдите установившуюся ошибку ess.
G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2
Найти: ess
Показать подсказки
Коэффициент ошибки по положению Kₚ = G(0).
Установившаяся ошибка для ступеньки величиной A: A/(1 + Kₚ).
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.
Показать ответ и пошаговое решение
Алгебра структурных схем: блоки, соединённые последовательно, перемножаются (G₁·G₂), блоки, соединённые параллельно, складываются (G₁ + G₂), а контур с прямым путём G и обратной связью H сводится к T = G/(1 + G·H) при отрицательной обратной связи и G/(1 − G·H) при положительной. Сначала упрощайте внутренние контуры, затем двигайтесь наружу. Полюсы замкнутой системы — корни характеристического уравнения 1 + G(s)H(s) = 0. Для устойчивого контура ступенчатый вход величиной A даёт установившийся выход A·T(0); при единичной обратной связи установившаяся ошибка по ступеньке равна A/(1 + Kp), где Kp = G(0).
Коэффициент ошибки по положению
Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375
Установившаяся ошибка
ess = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455
Ответ
ess = 1,455
Пример 3Сложная
Упростите структурную схему, где G₁ = 5/(s + 2), G₂ = 10/(s + 4), внутренняя отрицательная обратная связь H₁ = 4 охватывает G₂, а внешняя отрицательная обратная связь H₂ = 1. Найдите статический коэффициент передачи T(0) C(s)/R(s).
G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1
Найти: T(0)
Показать подсказки
Внутренний контур: G₂/(1 + G₂·H₁). Затем T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂).
В итоге T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂). Для статического коэффициента передачи положите s = 0 в каждом блоке.
G₁(0) = 2,5, G₂(0) = 2,5.
Показать ответ и пошаговое решение
Алгебра структурных схем: блоки, соединённые последовательно, перемножаются (G₁·G₂), блоки, соединённые параллельно, складываются (G₁ + G₂), а контур с прямым путём G и обратной связью H сводится к T = G/(1 + G·H) при отрицательной обратной связи и G/(1 − G·H) при положительной. Сначала упрощайте внутренние контуры, затем двигайтесь наружу. Полюсы замкнутой системы — корни характеристического уравнения 1 + G(s)H(s) = 0. Для устойчивого контура ступенчатый вход величиной A даёт установившийся выход A·T(0); при единичной обратной связи установившаяся ошибка по ступеньке равна A/(1 + Kp), где Kp = G(0).
Система управления — это цепочка частей: регулятор, двигатель, датчик. На структурной схеме каждая часть рисуется блоком, а каждый сигнал — стрелкой.
Это самая важная картина в теории управления. Выход C измеряется через H и вычитается из задающего воздействия R. Разность E = R − H·C — это ошибка, управляющая G.
Структурные схемы: как решать задачи шаг за шагом?
Алгебра структурных схем: блоки, соединённые последовательно, перемножаются (G₁·G₂), блоки, соединённые параллельно, складываются (G₁ + G₂), а контур с прямым путём G и обратной связью H сводится к T = G/(1 + G·H) при отрицательной обратной связи и G/(1 − G·H) при положительной. Сначала упрощайте внутренние контуры, затем двигайтесь наружу. Полюсы замкнутой системы — корни характеристического уравнения 1 + G(s)H(s) = 0. Для устойчивого контура ступенчатый вход величиной A даёт установившийся выход A·T(0); при единичной обратной связи установившаяся ошибка по ступеньке равна A/(1 + Kp), где Kp = G(0).
Структурные схемы: какие ошибки самые частые?
Проверьте знак в сумматоре: путь G₃ входит со знаком −.
Складываются только параллельные блоки; G₁ соединён с ними последовательно и умножается.
Параллельные блоки складываются (с их знаками); они не перемножаются.
Структурные схемы: что вы тренируете?
Лёгкая: последовательное, параллельное соединение и обратная связь
Средняя: передаточные функции замкнутых систем и ошибки
Сложная: возмущения, устойчивость и полюсы
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.