Последовательные и параллельные резисторы: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: эквивалентное сопротивление · соединение резисторов · последовательное и параллельное соединение

Бесплатные задачи по теме Последовательные и параллельные резисторы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: 3 резистора, 4 резистора, лестница из 6 резисторов.

Бесплатная задачаЛёгкая
R1​ = 10 Ω+−V1​8 VR2​4 ΩIR2​AR3​6 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 8 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 6 Ω
A
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Последовательные и параллельные резисторыЗанимайтесь сейчас: Последовательные и параллельные резисторыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкая3 резистора
  2. Средняя4 резистора
  3. Сложнаялестница из 6 резисторов

Как решать задачи по теме «Последовательные и параллельные резисторы»

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Типичные ошибки

  • Считают два резистора последовательными, хотя между ними подключена ветвь.
  • Параллельные резисторы просто складывают.
  • Забывают взять обратную величину в конце формулы для параллельного соединения.

Основные формулы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Изучите тему «Последовательные и параллельные резисторы» с нуля

1Напряжение, ток и сопротивление

Электрическая цепь — это замкнутый контур, по которому может течь заряд. Происходящее в ней описывают три величины.

  • Напряжение V в вольтах (V): «толчок», приводящий заряд в движение, как давление воды в трубе.
  • Ток I в амперах (A): сколько заряда проходит через точку за секунду, как литры в секунду.
  • Сопротивление R в омах (Ω): насколько трудно току течь, как узкий участок трубы.
+−VRI

Они связаны законом Ома:

V = I · R

Зная две из трёх величин, можно найти третью: I = V/R и R = V/I.

Самопроверка Источник 12 V создаёт ток в резисторе 4 Ω. Чему равен ток?
  1. 0,33 A
  2. 16 A
  3. 3 A
  4. 48 A

Ответ: 3 A. I = V/R = 12/4 = 3 A. Умножение (48 A) или деление в неправильном порядке (0,33 A) — обычные ошибки.

2Последовательное соединение резисторов

Резисторы соединены последовательно, если они стоят один за другим на одном пути, и между ними нет ответвлений.

R1​R2​IIab

Один и тот же ток должен пройти через оба, поэтому их сопротивления просто складываются:

Req = R1 + R2 + R3 + …

Эквивалентное сопротивление всегда больше каждого из резисторов в отдельности. Через более длинную узкую трубу воду протолкнуть труднее.

Самопроверка Чему равно эквивалентное сопротивление резисторов 3 Ω, 5 Ω и 7 Ω, соединённых последовательно?
  1. 1,4 Ω
  2. 105 Ω
  3. 15 Ω
  4. 7 Ω

Ответ: 15 Ω. При последовательном соединении складывают: 3 + 5 + 7 = 15 Ω.

3Параллельное соединение резисторов

Резисторы соединены параллельно, если оба их конца подключены к одним и тем же двум узлам. Ток делится между ними.

R1​R2​ab

Каждый резистор находится под одним и тем же напряжением. Поскольку у тока больше одного пути, полное сопротивление уменьшается:

1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …

Для ровно двух резисторов есть короткая формула «произведение на сумму»:

Req = R1·R2 / (R1 + R2)

Быстрая проверка на здравый смысл: результат всегда меньше наименьшего резистора. Два одинаковых резистора параллельно дают половину одного.

Самопроверка Чему равно 6 Ω параллельно с 3 Ω?
  1. 0,5 Ω
  2. 2 Ω
  3. 4,5 Ω
  4. 9 Ω

Ответ: 2 Ω. Произведение на сумму: 6·3/(6 + 3) = 18/9 = 2 Ω. Это меньше 3 Ω, как и должно быть. 0,5 — это 1/R: не забудьте взять обратную величину.

4Метод по шагам

Реальные цепи сочетают последовательные и параллельные участки. Их упрощают по одному небольшому шагу.

  1. Отметьте два вывода, с которых вы смотрите (часто a и b или источник).
  2. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от этих выводов.
  3. Найдите два резистора, которые явно соединены последовательно или явно параллельно, и замените их одним.
  4. Перерисуйте схему с новым резистором.
  5. Повторяйте, пока между выводами не останется один резистор. Это Req.

Если в задаче спрашивается ток источника, завершите законом Ома: I = V/Req.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Найдите эквивалентное сопротивление между a и b. Затем найдите ток, который отдавал бы источник 22 V, подключённый к a–b.

1

Посмотрите на цепь

abR1​ = 5 ΩR2​12 ΩR3​ = 4 ΩR4​8 Ω

Начните справа. R3 и R4 лежат на одном пути, и между ними нет ответвлений.

2

Объедините R₃ и R₄ (последовательно)

R34 = 4 + 8 = 12 Ω
abR1​ = 5 ΩR2​12 ΩR34​12 Ω

Теперь R34 включён между теми же двумя узлами, что и R2.

3

Объедините R₂ и R₃₄ (параллельно)

Rp = 12·12 / (12 + 12) = 6 Ω

Два одинаковых резистора параллельно дают половину одного, так что 6 Ω верно.

abR1​ = 5 ΩRp​6 Ω
4

Объедините R₁ и Rₚ (последовательно)

Req = 5 + 6 = 11 Ω
5

Используйте закон Ома

I = V / Req = 22 / 11 = 2 A
Ответ

Req = 11 Ω, и источник отдаёт I = 2 A.

6Типичные ошибки

  • Называть два резистора «последовательными», когда от узла между ними отходит ветвь. Тогда они не соединены последовательно.
  • Складывать параллельные резисторы напрямую, как будто они соединены последовательно.
  • Забывать последний шаг в 1/Req = …: нужно ещё взять обратную величину.
  • Не перерисовывать схему. После каждого шага рисуйте более простую цепь, прежде чем искать следующую пару.
Самопроверка Два резистора по 10 Ω соединены параллельно. Чему равно эквивалентное сопротивление?
  1. 0,2 Ω
  2. 10 Ω
  3. 20 Ω
  4. 5 Ω

Ответ: 5 Ω. Одинаковые резисторы параллельно дают половину одного: 10·10/(10 + 10) = 5 Ω. 20 Ω было бы при последовательном соединении, а 0,2 — это 1/R до взятия обратной величины.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкие: три резистора, один последовательный и один параллельный шаг. Вы находите Req или ток источника.
  • Средние: четыре резистора. Та же идея, но на один шаг больше.
  • Сложные: лестничная схема из шести резисторов. Всегда начинайте с дальнего конца и двигайтесь к источнику.

Если спрашивается ток источника, сначала найдите Req, а затем используйте I = V/Req.

Дайте ответ с единицей измерения и проверьте, разумен ли он: параллельная пара меньше любого из резисторов.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
R1​ = 5 ΩIR1​+−V1​18 VR2​6 ΩAR3​12 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 12 Ω

Найти: IR1 (A)

Показать подсказки
  1. Упрощайте сеть шаг за шагом. Последовательные сопротивления складываются. Два параллельных резистора дают R₁R₂/(R₁ + R₂).
  2. R₂ и R₃ оба соединяют узел A с нижним проводом, поэтому они параллельны. Эта пара последовательна с R₁.
  3. Req = 9 Ω.
Показать ответ и пошаговое решение

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 5 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR3​12 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R2 ∥ R3 = 6·12/(6+12) = 4 Ω
Req = R1 + R2 ∥ R3 = 5 + 4 = 9 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/9 = 2 A

Ответ

IR1 = 2 A
Пример 2Средняя
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​6 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω

Найти: IR1 (A)

Показать подсказки
  1. Упрощайте сеть шаг за шагом. Последовательные сопротивления складываются. Два параллельных резистора дают R₁R₂/(R₁ + R₂).
  2. R₃ и R₄ проводят один и тот же ток, поэтому они последовательны. Эта ветвь параллельна R₂, а результат последователен с R₁.
  3. Req = 8,25 Ω.
Показать ответ и пошаговое решение

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​18 VR2​3 ΩAR4​6 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 3·9/(3+9) = 2,25 Ω
Req = R1 + 2,25 = 6 + 2,25 = 8,25 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 18/8,25 = 2,182 A

Ответ

IR1 = 2,182 A
Пример 3Сложная
R1​ = 10 ΩIR1​R3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 12 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 ΩR5 = 20 ΩR6 = 20 Ω

Найти: IR1 (A)

Показать подсказки
  1. Упрощайте сеть шаг за шагом. Последовательные сопротивления складываются. Два параллельных резистора дают R₁R₂/(R₁ + R₂).
  2. Начните с R₅ + R₆ (последовательно), объедините с R₄ (параллельно), прибавьте R₃, объедините с R₂ и наконец прибавьте R₁.
  3. Req = 19,86 Ω.
Показать ответ и пошаговое решение

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 10 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAR4​5 ΩBR6​20 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 4,444 Ω
R3 + 4,444 = 19,44 Ω
R2 ∥ 19,44 = 9,859 Ω
Req = R1 + 9,859 = 10 + 9,859 = 19,86 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 12/19,86 = 0,6043 A

Ответ

IR1 = 0,6043 A

Вопросы и ответы

Последовательные и параллельные резисторы: что это?

Электрическая цепь — это замкнутый контур, по которому может течь заряд. Происходящее в ней описывают три величины.

Они связаны законом Ома:

Последовательные и параллельные резисторы: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.
Последовательные и параллельные резисторы: какие ошибки самые частые?
  • Считают два резистора последовательными, хотя между ними подключена ветвь.
  • Параллельные резисторы просто складывают.
  • Забывают взять обратную величину в конце формулы для параллельного соединения.
Последовательные и параллельные резисторы: что вы тренируете?
  • Лёгкая: 3 резистора
  • Средняя: 4 резистора
  • Сложная: лестница из 6 резисторов

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Далее

Полное сопротивление и комплексные амплитудыДиоды и транзисторыДвигатели постоянного токаМетод контурных токовМетод узловых потенциаловПереходные процессы RC и RLМетод наложенияТевенин и НортонМост Уитстона и тензорезисторы

Калькуляторы

Калькулятор последовательного и параллельного соединения резисторовКалькулятор делителя напряженияКалькулятор закона Ома (напряжение, ток, сопротивление и мощность)Калькулятор цветовой маркировки резисторов (4, 5 и 6 полос)

Курсы с этой темой

Теория электрических цепей 1Основы электротехникиФизика 2: Электричество и магнетизмЭлектроника 1Измерения и приборыПодготовка к экзамену FE Electrical and Computer

Другие темы: Электротехника

Метод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Последовательные и параллельные резисторы: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Последовательные и параллельные резисторыЗанимайтесь сейчас: Последовательные и параллельные резисторыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.