Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: тип системы и коэффициенты ошибок, установившиеся ошибки и коэффициент усиления, синтез П-, ПИ- и ПД-регуляторов.

Бесплатная задачаЛёгкая
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). Найдите коэффициент скоростной ошибки Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Установившаяся ошибка и ПИД-регулированиеЗанимайтесь сейчас: Установившаяся ошибка и ПИД-регулированиеБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаятип системы и коэффициенты ошибок
  2. Средняяустановившиеся ошибки и коэффициент усиления
  3. Сложнаясинтез П-, ПИ- и ПД-регуляторов

Как решать задачи по теме «Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование»

  1. Посчитайте полюса разомкнутого контура C(s)·G(s) в точке s = 0: это тип системы.
  2. Найдите коэффициент ошибки, соответствующий входу: Kp для ступеньки, Kv для линейного воздействия, Ka для параболы.
  3. Примените ess = A/(1 + Kp), A/Kv или A/Ka либо решите это уравнение относительно нужного коэффициента усиления.
  4. Для требований по демпфированию или скорости запишите характеристический полином замкнутой системы и приравняйте его коэффициенты к s² + 2ζω_n·s + ω_n².

Типичные ошибки

  • Используют A/Kp вместо A/(1 + Kp) для ступеньки.
  • Забывают коэффициент усиления объекта при приравнивании коэффициентов: коэффициент усиления контура равен K, умноженному на коэффициент усиления объекта.
  • Не учитывают интегратор регулятора при определении типа системы.
  • Ожидают, что один пропорциональный коэффициент устранит ошибку по ступеньке в контуре типа 0.

Основные формулы

Тип системы
число полюсов G(s) в точке s = 0
Коэффициенты ошибок
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
Ступенька A
ess = A/(1 + Kp)
Линейное воздействие A·t
ess = A/Kv
Парабола A·t²/2
ess = A/Ka
ПИД-регулятор
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
Целевая система второго порядка
s² + 2ζωns + ωn²
Перерегулирование и временные характеристики
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

Изучите тему «Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование» с нуля

Перед этим: Структурные схемы, Переходная характеристика

1Отработка команды

Контур обратной связи сравнивает команду r с выходом y и действует на ошибку e = r − y. В идеале выход в итоге оказывается точно на уровне команды.

Часто этого не происходит. После затухания переходного процесса может остаться разрыв — установившаяся ошибка ess.

tyress​

Величина ess зависит от типа входа (ступенька, линейное воздействие или парабола) и от числа интеграторов в контуре.

Самопроверка Контур с единичной обратной связью получает r = 1, и его выход устанавливается на уровне y = 0,95. Чему равна установившаяся ошибка?
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

Ответ: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. Сам выход равен 0,95, а знак положительный, потому что выход остаётся ниже команды.

2Тип системы и коэффициенты ошибок

Тип системы — это число полюсов разомкнутого контура G(s) в точке s = 0, то есть число интеграторов. У G(s) = 10/(s(s + 5)) он один, значит, это тип 1.

Три коэффициента ошибок характеризуют G(s) на очень низких частотах (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

По теореме о конечном значении они дают ошибку для каждого входа:

ступенька A: A/(1 + Kp) линейный сигнал A·t: A/Kv парабола A·t²/2: A/Ka
  • Тип 0: конечная ошибка по ступеньке, бесконечная ошибка по линейному воздействию.
  • Тип 1: нулевая ошибка по ступеньке, конечная ошибка по линейному воздействию.
  • Тип 2: нулевая ошибка по ступеньке и по линейному воздействию, конечная ошибка по параболе.
Самопроверка Чему равен коэффициент скоростной ошибки Kv для G(s) = 10/(s(s + 5))?
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

Ответ: 2. s·G(s) = 10/(s + 5), что при s = 0 равно 10/5 = 2. Значение 0,5 — это ошибка по линейному воздействию 1/Kv, а не сам коэффициент.

3Метод по шагам

  1. Запишите разомкнутый контур: регулятор, умноженный на объект, C(s)·G(s).
  2. Посчитайте его полюса в точке s = 0, чтобы получить тип системы.
  3. Выберите коэффициент ошибки, соответствующий входу: Kp для ступеньки, Kv для линейного воздействия, Ka для параболы.
  4. Вычислите предел: сократите множители s, затем подставьте s = 0 в оставшееся.
  5. Примените формулу ошибки или решите её относительно коэффициента усиления, дающего требуемую ошибку.

Для требований по демпфированию или скорости запишите характеристический полином замкнутой системы и приравняйте его коэффициенты к s² + 2ζωns + ωn².

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Контур с единичной обратной связью имеет G(s) = K/(s(s + 4)). Он должен отслеживать линейное воздействие r(t) = 2t с установившейся ошибкой 0,1. Найдите K и получающийся коэффициент демпфирования.

1

Найдите тип системы

r+eK1/(s(s + 4))y−

У G(s) один полюс в точке s = 0, поэтому контур имеет тип 1: линейное воздействие даёт конечную ошибку.

2

Коэффициент скоростной ошибки

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Требуемое Kv

Наклон линейного воздействия равен A = 2, поэтому ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

Коэффициент усиления

K = 4·Kv = 80
5

Проверьте демпфирование

Характеристический полином: s² + 4s + 80, поэтому ωn = √80 = 8,94 rad/s и ζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

Требуемая ошибка достигнута, но переходная характеристика даёт перерегулирование около 49 %. Из-за такого компромисса регуляторы — это не просто один коэффициент усиления.

Ответ

K = 80, при этом ζ = 0,22.

5П-, ПИ- и ПИД-регуляторы

ПИД-регулятор объединяет три воздействия на ошибку:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • Пропорциональное (Kp): более быстрый контур и меньшая ошибка для объекта типа 0, но ошибка по ступеньке никогда не достигает нуля.
  • Интегральное (Ki/s): добавляет полюс в точке s = 0, поэтому тип повышается на единицу, и ступенька отслеживается без ошибки.
  • Дифференциальное (Kd·s): добавляет демпфирование и уменьшает перерегулирование.

Чтобы подобрать коэффициенты, приравняйте коэффициенты полиномов. ПИ-регулятор для G(s) = 2/(s + 3) даёт характеристический полином s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. Для ωn = 5 rad/s и ζ = 0,8 целевой полином равен s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
Самопроверка В регулятор контура типа 0 добавили интегратор. Что произойдёт с установившейся ошибкой для единичной ступеньки?
  1. Она станет бесконечной
  2. Она станет равной нулю
  3. Она увеличится
  4. Она уменьшится, но не станет нулевой

Ответ: Она станет равной нулю. Интегратор делает контур типом 1, поэтому Kp бесконечен, и A/(1 + Kp) = 0. Один лишь больший пропорциональный коэффициент только уменьшил бы ошибку.

6Типичные ошибки

  • Используют A/Kp вместо A/(1 + Kp) для ступеньки.
  • Забывают коэффициент усиления объекта при приравнивании коэффициентов: коэффициент усиления контура равен коэффициенту усиления регулятора, умноженному на коэффициент усиления объекта.
  • Считают только интеграторы объекта и упускают интегратор в ПИ-регуляторе.
  • Пропускают нули при вычислении Kv: множитель (s + 3) при s = 0 равен 3.
Самопроверка Ступенька величиной 5 подана на контур типа 0 с Kp = 9. Чему равна установившаяся ошибка?
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

Ответ: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. Деление только на Kp даёт 0,556, пропуск величины ступеньки даёт 0,1, а 4,5 — это конечное значение выхода.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкий: тип системы и коэффициенты ошибок. Нужно найти тип, Kp, Kv или Ka передаточной функции, ошибку по ступеньке или конечное значение выхода контура с П-регулированием.
  • Средний: установившиеся ошибки и коэффициент усиления. Нужно найти ошибку для линейного воздействия, параболы или ступеньки плюс линейного воздействия либо коэффициент усиления, дающий требуемую ошибку.
  • Сложный: синтез П-, ПИ- и ПД-регуляторов. Нужно выбрать K для заданного коэффициента демпфирования, найти перерегулирование, время максимума или время установления для заданного K, подобрать коэффициенты ПИ- или ПД-регулятора приравниванием коэффициентов либо найти ошибку по линейному воздействию с ПИ-регулятором.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

Контур с единичной обратной связью имеет передаточную функцию разомкнутой системы G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). Найдите коэффициент ошибки по ускорению Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

Найти: Ka

Показать подсказки
  1. K_a = lim s²·G(s) при s → 0.
  2. Множитель s² сокращает двойной полюс в начале координат.
  3. Ka = 2·2/2.
Показать ответ и пошаговое решение

Установившаяся ошибка: в контуре с единичной обратной связью и передаточной функцией разомкнутой системы G(s) ошибка равна E(s) = R(s)/(1 + G(s)), а по теореме о конечном значении ess = lims→0 s·E(s). Тип системы — это число полюсов G(s) в точке s = 0. Коэффициенты ошибок: Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) и Ka = lim s²·G(s), все при s → 0. Ступенчатое воздействие величиной A даёт ess = A/(1 + Kp), линейное A·t даёт A/Kv, а параболическое A·t²/2 даёт A/Ka. Контур типа 0 отслеживает ступеньку с конечной ошибкой, контур типа 1 отслеживает её точно, а линейное воздействие — с конечной ошибкой.

Коэффициент ошибки по ускорению

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

Ответ

Ka = 2
Пример 2Средняя
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

Контур с единичной обратной связью имеет G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). Найдите коэффициент усиления K, при котором установившаяся ошибка по ступеньке составляет 2 %.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

Найти: K

Показать подсказки
  1. Для единичной ступеньки e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
Показать ответ и пошаговое решение

Установившаяся ошибка: в контуре с единичной обратной связью и передаточной функцией разомкнутой системы G(s) ошибка равна E(s) = R(s)/(1 + G(s)), а по теореме о конечном значении ess = lims→0 s·E(s). Тип системы — это число полюсов G(s) в точке s = 0. Коэффициенты ошибок: Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) и Ka = lim s²·G(s), все при s → 0. Ступенчатое воздействие величиной A даёт ess = A/(1 + Kp), линейное A·t даёт A/Kv, а параболическое A·t²/2 даёт A/Ka. Контур типа 0 отслеживает ступеньку с конечной ошибкой, контур типа 1 отслеживает её точно, а линейное воздействие — с конечной ошибкой.

Требуемый коэффициент ошибки

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

Коэффициент усиления

K/10 = 49 → K = 490

Ответ

K = 490

Проверьте и устойчивость замкнутой системы: для этого контура второго порядка устойчив любой K > 0.

Пример 3Сложная
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

Пропорциональный регулятор K = 8 управляет объектом G(s) = 5/(s(s + 2)) в контуре с единичной обратной связью. Найдите время установления ts переходной характеристики по критерию 2 %, используя ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

Найти: ts (s)

Показать подсказки
  1. Характеристический полином: s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ — это половина коэффициента при s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
Показать ответ и пошаговое решение

П-, ПИ- и ПИД-регулирование: регулятор C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s воздействует на ошибку. Пропорциональный коэффициент ускоряет контур и уменьшает ошибку объекта типа 0, но никогда не устраняет её. Интегральная составляющая добавляет полюс в точке s = 0: тип системы повышается на единицу, и ступенька отслеживается без ошибки. Дифференциальная составляющая добавляет демпфирование. Чтобы подобрать коэффициенты, запишите характеристический полином замкнутой системы и сравните его с s² + 2ζωns + ωn². Тогда %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, где ωd = ωn√(1 − ζ²), и ts ≈ 4/(ζωn).

Характеристический полином

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ и ζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

Время установления

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

Ответ

ts = 4 s

Время установления здесь не зависит от K: увеличение K лишь делает отклик более колебательным.

Вопросы и ответы

Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование: что это?

Контур обратной связи сравнивает команду r с выходом y и действует на ошибку e = r − y. В идеале выход в итоге оказывается точно на уровне команды.

Часто этого не происходит. После затухания переходного процесса может остаться разрыв — установившаяся ошибка ess.

Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Посчитайте полюса разомкнутого контура C(s)·G(s) в точке s = 0: это тип системы.
  2. Найдите коэффициент ошибки, соответствующий входу: Kp для ступеньки, Kv для линейного воздействия, Ka для параболы.
  3. Примените ess = A/(1 + Kp), A/Kv или A/Ka либо решите это уравнение относительно нужного коэффициента усиления.
  4. Для требований по демпфированию или скорости запишите характеристический полином замкнутой системы и приравняйте его коэффициенты к s² + 2ζω_n·s + ω_n².
Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование: какие ошибки самые частые?
  • Используют A/Kp вместо A/(1 + Kp) для ступеньки.
  • Забывают коэффициент усиления объекта при приравнивании коэффициентов: коэффициент усиления контура равен K, умноженному на коэффициент усиления объекта.
  • Не учитывают интегратор регулятора при определении типа системы.
  • Ожидают, что один пропорциональный коэффициент устранит ошибку по ступеньке в контуре типа 0.
Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование: что вы тренируете?
  • Лёгкая: тип системы и коэффициенты ошибок
  • Средняя: установившиеся ошибки и коэффициент усиления
  • Сложная: синтез П-, ПИ- и ПД-регуляторов

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Структурные схемыПереходная характеристика

Курсы с этой темой

Теория управления 1Теория управления 2: проектирование систем с обратной связьюМехатронные системыПодготовка к экзамену FE Electrical and ComputerПодготовка к экзамену FE Mechanical

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Установившаяся ошибка и ПИД-регулированиеЗанимайтесь сейчас: Установившаяся ошибка и ПИД-регулированиеБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.