Метод контурных токов: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: МКТ · контурные токи · второй закон Кирхгофа
Бесплатные задачи по теме Метод контурных токов с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: 2 контура, 1 источник, 2 контура, 2 источника, 3 контура.
Бесплатная задачаЛёгкая
Используйте метод контурных токов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.
Метод контурных токов — это стандартный способ найти токи в цепи. Он парный к методу узловых потенциалов: узловой анализ использует неизвестными напряжения, анализ контуров — токи.
Посмотрите на плоский чертёж цепи. Пустые «окна», ограниченные проводами и элементами, называются контурами.
Вы представляете, что вокруг каждого окна циркулирует один ток. Это контурные токи. Из них составляется каждый реальный ток ветви.
Представьте ряд шестерёнок, стоящих рядом. Каждая вращается сама по себе, а там, где две шестерёнки соприкасаются, вы видите разность их движений.
Самопроверка На плоском чертеже цепи три окна. Сколько контурных токов вам нужно?
1
2
3
6
Ответ: 3. По одному контурному току на окно, то есть три. Затем вы записываете по одному уравнению на контур, всего три уравнения.
2Закон напряжений Кирхгофа
Пройдите один раз по любому замкнутому контуру и вернитесь в исходную точку. Вы окажетесь при том же напряжении, с которого начали.
Значит, напряжение, которое вы получаете в источниках, равно напряжению, которое теряете на резисторах. Это второй закон Кирхгофа (KVL).
Σ повышений напряжения = Σ падений напряжения
Источник — это подъём напряжения, когда вы проходите через него от − к +. Резистор — это падение I·R, когда вы проходите через него в направлении его тока.
В этом контуре источник даёт 12 V. Один резистор забирает 8 V, значит, другой должен забрать оставшиеся 4 V.
Самопроверка Источник 10 V питает один контур с двумя резисторами. На первом напряжение 7 V. Чему равно напряжение на втором?
10 V
17 V
3 V
7 V
Ответ: 3 V. Падения должны давать в сумме подъём 10 V: 10 − 7 = 3 V. Сложение напряжений (17 V) нарушает KVL.
3Контурные токи в общем резисторе
Рисуйте каждый контурный ток по часовой стрелке и с одинаковой схемой обозначений: I1, I2, …
Резистор на внешней стороне цепи принадлежит только одному контуру. Через него течёт ток этого контура.
Резистор между двумя окнами — общий. Оба контурных тока проходят через него в противоположных направлениях. Его реальный ток равен их разности.
IR3 (вниз) = I1 − I2
В контуре 1 ток I1 течёт вниз через R3, поэтому вы пишете I1 − I2. В контуре 2 ток I2 течёт вверх через R3, поэтому вы пишете I2 − I1.
Самопроверка В цепи выше I1 = 3 A и I2 = 1 A. Какой ток течёт вниз через R3?
1 A
2 A
3 A
4 A
Ответ: 2 A. Общий резистор пропускает разность: 3 − 1 = 2 A вниз. Сложение контурных токов (4 A) — самая частая ошибка.
4Метод по шагам
Посчитайте окна. Нарисуйте в каждом один контурный ток по часовой стрелке: I1, I2, …
Обойдите контур 1 по часовой стрелке. Сложите падения: для каждого резистора это R, умноженное на ток через него (его собственный контурный ток или разность в общем резисторе).
Приравняйте падения к подъёмам источников в этом контуре. Источник считается со знаком +, когда вы проходите его от − к +, и со знаком − в обратном случае.
Повторите для каждого контура. Вы получите по одному уравнению на контур.
Решите уравнения относительно контурных токов.
Найдите нужный ток ветви или напряжение. Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
Всегда обходите в том же направлении, что и контурный ток. Тогда каждое слагаемое с резистором начинается со знака плюс.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Найдите контурные токи и ток IR3 через R3 в направлении стрелки.
1
Задайте контурные токи
Здесь два окна, поэтому два контурных тока по часовой стрелке, I1 и I2. R3 является общим для них.
2
KVL для контура 1
Двигаясь по часовой стрелке, вы проходите V1 от − к +: подъём 10 V. Через R1 течёт I1, а через R3 течёт I1 − I2.
2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3
KVL для контура 2
В контуре 2 нет источника, поэтому сумма его падений равна 0. Через R2 и R4 течёт I2, а через R3 течёт I2 − I1.
4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4
Решите уравнения
Подставьте I1 = 2·I2 в первое уравнение.
8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5
Ток в R₃
Стрелка направлена вниз, так же как I1 в R3.
IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6
Проверьте ответ
Контур 1: R1 забирает 2·2 = 4 V, а R3 забирает 6·1 = 6 V. Вместе 10 V, что равно V1.
Контур 2: через R2 и R4 течёт 1 A, и они забирают 4 + 2 = 6 V. Это равно 6 V на R3, как и должно быть, потому что они подключены между одними и теми же двумя узлами.
Ответ
I1 = 2 A, I2 = 1 A и IR3 = 1 A вниз.
6Типичные ошибки
Использовать полный контурный ток в общем резисторе. Общий резистор пропускает разность двух контурных токов.
Неверно определить знак источника. Прохождение источника от + к − по ходу обхода считается отрицательным подъёмом.
Обходить некоторые контуры против часовой стрелки. Держите все контурные токи и все обходы по часовой стрелке.
Забывать, что отрицательный результат допустим. Он лишь означает, что ток течёт против часовой стрелки.
Самопроверка Обходя контур 2 по часовой стрелке, вы проходите источник 6 V со стороны + к стороне −. В контуре 2 есть R2 = 2 Ω и общий R3 = 4 Ω. Какое уравнение верно?
2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
2·I2 + 4·I2 = −6
Ответ: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. Прохождение источника от + к − — это падение, поэтому в части подъёмов оно считается как −6 V. В контуре 2 общий резистор пропускает I2 − I1, а не один лишь I2 и не I1 − I2.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: два контура и один источник напряжения, как в разобранном примере. В контуре 2 нет источника, поэтому его уравнение равно 0.
Средняя: два контура и два источника напряжения, по одному с каждой стороны. Следите за знаком правого источника в контуре 2.
Сложная: три контура с двумя общими резисторами. Средний контур делит резистор с каждым из соседей.
В вопросе спрашивается контурный ток, ток через резистор в направлении стрелки или напряжение на резисторе с показанной полярностью.
Для напряжения сначала найдите ток через резистор, затем используйте V = I·R.
Используйте метод контурных токов, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.
V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω
Найти: IR2(A)
Показать подсказки
Окон 2, поэтому задайте 2 контурных тока по часовой стрелке (I1, I2) и запишите по одному уравнению ЗНК на контур.
В контуре 1 каждый резистор проводит I1, кроме общего резистора, который проводит I1 − I2.
Решение даёт I1 = 0,95 A.
Показать ответ и пошаговое решение
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0
Решите
Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0,95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0,15 A
Ответ
IR2 = I2 = 0,15 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
Пример 2Средняя
Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I1 (по часовой стрелке).
V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω
Найти: I1(A)
Показать подсказки
Окон 2, поэтому задайте 2 контурных тока по часовой стрелке (I1, I2) и запишите по одному уравнению ЗНК на контур.
В контуре 1 каждый резистор проводит I1, кроме общего резистора, который проводит I1 − I2.
Решение даёт I1 = −0,3387 A.
Показать ответ и пошаговое решение
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24
Решите
Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0,3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1,871 A
Ответ
I1 = −0,3387 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
Пример 3Сложная
Используйте метод контурных токов, чтобы найти ток IR4 через R4 в направлении стрелки.
Окон 3, поэтому задайте 3 контурных тока по часовой стрелке (I1, I2, I3) и запишите по одному уравнению ЗНК на контур.
В контуре 1 каждый резистор проводит I1, кроме общего резистора, который проводит I1 − I2.
Решение даёт I1 = 1,135 A.
Показать ответ и пошаговое решение
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1,135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0,5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0,6097 A
Ответ
IR4 = I1 − I2 = 0,6323 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
Вопросы и ответы
Метод контурных токов: что это?
Метод контурных токов — это стандартный способ найти токи в цепи. Он парный к методу узловых потенциалов: узловой анализ использует неизвестными напряжения, анализ контуров — токи.
Посмотрите на плоский чертёж цепи. Пустые «окна», ограниченные проводами и элементами, называются контурами.
Метод контурных токов: как решать задачи шаг за шагом?
Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.
Метод контурных токов: какие ошибки самые частые?
В общем резисторе берут полный контурный ток.
Ошибаются в знаке источника при обходе контура.
Забывают, что источник тока во внешней ветви задаёт ток этого контура.
Метод контурных токов: что вы тренируете?
Лёгкая: 2 контура, 1 источник
Средняя: 2 контура, 2 источника
Сложная: 3 контура
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.