Двигатели постоянного тока: задачи с пошаговыми решениями

Q: Двигатели постоянного тока: как решать задачи шаг за шагом?

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление Ra и противо-ЭДС E включены последовательно. Используйте V = E + Ia·Ra, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС. Используйте E = k·ω для скорости и T = k·Ia для момента, где ω = 2π·n/60. Для мощности и КПД начните с V·Ia, вычтите потери в меди Ia²·Ra, а затем потери на вращение.

Q: Двигатели постоянного тока: что вы тренируете?

Лёгкая: противо-ЭДС, ток и момент Средняя: скорость–момент и КПД Сложная: пуск и регулирование скорости В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Бесплатные задачи по теме Двигатели постоянного тока с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: противо-ЭДС, ток и момент, скорость–момент и КПД, пуск и регулирование скорости.

Бесплатная задачаЛёгкая

Двигатель постоянного тока вращается со скоростью 1800 rpm, и его противо-ЭДС на этой скорости равна 216 V. Найдите постоянную двигателя k в V·s/rad.

E = 216 Vn = 1800 rpm

Следующая задача →

Занимайтесь бесплатно: Двигатели постоянного тока Занимайтесь сейчас: Двигатели постоянного токаБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

Лёгкаяпротиво-ЭДС, ток и момент
Средняяскорость–момент и КПД
Сложнаяпуск и регулирование скорости

Как решать задачи по теме «Двигатели постоянного тока»

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

Типичные ошибки

Оставляют скорость в rpm в E = k·ω или P = T·ω.
Забывают, что в неподвижном состоянии противо-ЭДС равна нулю, из-за чего пусковой ток очень велик.
Прибавляют падение на якоре к напряжению питания вместо того, чтобы вычесть его.
Считают ток неизменным после ослабления поля: тот же момент требует большего тока.

Основные формулы

Цепь якоря: V = E + I_aR_a
Противо-ЭДС и момент: E = k·ω, T = k·I_a
Скорость: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
Скорость холостого хода и момент при заторможенном роторе: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
Мощности: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
Пуск: I_start = V/(R_a + R_st)
Регулирование скорости: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
Максимальная развиваемая мощность: P_max = V²/(4R_a)
Привод с прерывателем: V_a = D·V_dc

Изучите тему «Двигатели постоянного тока» с нуля

Перед этим: Последовательные и параллельные резисторы

1Что такое двигатель постоянного тока

Двигатель постоянного тока превращает электрическую мощность во вращение. Ток во вращающейся обмотке, якоре, находится в магнитном поле и испытывает силу, которая создаёт момент на валу.

Пока якорь вращается, он одновременно работает как генератор. Он создаёт напряжение, противодействующее питанию: противо-ЭДС E. Чем быстрее вращение, тем больше E.

С электрической точки зрения якорь — это сопротивление R_a, включённое последовательно с противо-ЭДС. Эта простая модель объясняет, как скорость, момент и ток зависят друг от друга.

Самопроверка Чему равна противо-ЭДС двигателя постоянного тока в момент включения, до начала вращения?

Нулю
Половине напряжения питания
Равна напряжению питания
Такая же, как на полной скорости

Ответ: Нулю. Противо-ЭДС пропорциональна скорости, E = k·ω. В неподвижном состоянии ω = 0, поэтому E = 0, и ток ограничивает только R_a.

2Четыре уравнения двигателя

Обойдите цепь якоря:

V = E + I_a·R_a

Противо-ЭДС растёт со скоростью, а момент — с током, с одной и той же постоянной двигателя k в единицах СИ (V·s/rad = N·m/A):

E = k·ω T = k·I_a

Скорости часто задают в оборотах в минуту. Переведите их, прежде чем использовать уравнения:

ω = 2π·n/60

Мощность, преобразованная в механическую, — это развиваемая мощность E·I_a = T·ω. Входная мощность равна V·I_a, а разность I_a²R_a теряется в виде тепла в якоре.

Самопроверка У двигателя k = 0,5 N·m/A, и он потребляет ток якоря 8 A. Какой момент он развивает?

0,0625 N·m
16 N·m
4 N·m
8 N·m

Ответ: 4 N·m. T = k·I_a = 0,5·8 = 4 N·m. Деление тока на k даёт 16, а деление k на ток даёт 0,0625.

3Метод по шагам

Нарисуйте цепь якоря и выпишите, что дано: V, R_a, k и момент нагрузки, ток или скорость.
Если задан момент, найдите ток по формуле I_a = T/k.
Найдите противо-ЭДС из V = E + I_aR_a.
Найдите скорость по формуле ω = E/k и при необходимости переведите в rpm: n = 60·ω/(2π).
Для мощности и КПД начните с V·I_a и вычтите потери в меди, а затем потери на вращение.

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Двигатель постоянного тока с R_a = 0,5 Ω и k = 0,8 V·s/rad работает от 120 V и приводит нагрузку с моментом 8 N·m. Найдите ток якоря, скорость в rpm и развиваемую мощность.

Посмотрите на цепь

Момент нагрузки задаёт ток; ток задаёт падение напряжения; затем противо-ЭДС задаёт скорость.

Ток якоря

I_a = T/k = 8/0,8 = 10 A

Противо-ЭДС

E = V − I_aR_a = 120 − 10·0,5 = 115 V

Скорость

ω = E/k = 115/0,8 = 143,75 rad/s

n = 60·143,75/(2π) = 1373 rpm

Развиваемая мощность и проверка

P_dev = E·I_a = 115·10 = 1150 W

Проверим со стороны вала: T·ω = 8·143,75 = 1150 W. Входная мощность равна 120·10 = 1200 W, значит, 50 W теряется в R_a.

Ответ

I_a = 10 A, n = 1373 rpm и P_dev = 1150 W.

5Механическая характеристика, пуск и регулирование скорости

Объединение уравнений даёт прямую: скорость немного падает с ростом момента нагрузки.

ω = V/k − R_a·T/k²

Скорость холостого хода (T = 0): ω₀ = V/k. В примере 150 rad/s, или 1432 rpm.
Момент при заторможенном роторе (ω = 0): T = k·V/R_a = 0,8·120/0,5 = 192 N·m.
Пусковой ток: V/R_a = 240 A, намного больше рабочего тока. Последовательный пусковой резистор снижает его.
Регулирование скорости: понизьте напряжение якоря (например, с помощью прерывателя, V_a = D·V_dc), добавьте последовательное сопротивление или ослабьте поле, чтобы работать выше основной скорости.

Самопроверка Двигатель на 120 V с R_a = 0,5 Ω должен запускаться при токе не более 30 A. Какой пусковой резистор нужен?

0,5 Ω
3,5 Ω
4 Ω
4,5 Ω

Ответ: 3,5 Ω. Полное сопротивление должно быть равно 120/30 = 4 Ω. Якорь уже даёт 0,5 Ω, поэтому резистор равен 4 − 0,5 = 3,5 Ω. Если прибавить R_a вместо вычитания, получится 4,5 Ω.

6Типичные ошибки

Оставляют скорость в rpm в E = k·ω или P = T·ω.
Прибавляют падение на якоре к напряжению питания вместо того, чтобы вычесть его: в двигателе E меньше V.
Забывают, что в неподвижном состоянии противо-ЭДС равна нулю.
Оставляют ток прежним после ослабления поля: при меньшем k тот же момент требует большего тока.

Самопроверка У двигателя противо-ЭДС равна 100 V при 1000 rpm. Чему равна его постоянная k?

0,0159 V·s/rad
0,1 V·s/rad
0,955 V·s/rad
6 V·s/rad

Ответ: 0,955 V·s/rad. ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s, поэтому k = 100/104,7 = 0,955. Прямое деление на обороты в минуту даёт 0,1, а пропуск множителя 60 даёт 0,0159.

7Как выглядят экзаменационные задачи

Лёгкий: противо-ЭДС, ток и момент. Нужно найти E, I_a, момент по k, постоянную двигателя по скорости, скорость, пусковой ток или развиваемую мощность.
Средний: скорость–момент и КПД. Нужно найти скорость холостого хода, скорость при нагрузке, момент при заторможенном роторе, КПД с учётом потерь на вращение, регулирование скорости или момент на валу по мощности.
Сложный: пуск и регулирование скорости. Нужно подобрать пусковой резистор, найти напряжение якоря или последовательное сопротивление для заданной скорости, скорость после ослабления поля, коэффициент заполнения привода с прерывателем, максимальную мощность или скорость после изменения нагрузки.

Изучайте шаг за шагом в приложении Изучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая

Двигатель постоянного тока с постоянными магнитами имеет постоянную момента k = 0,6 N·m/A. Найдите момент T, который он развивает при токе якоря 8 A.

k = 0,6 N·m/AI_a = 8 A

Найти: T (N·m)

Показать подсказки

Постоянная момента связывает момент и ток якоря.
T = k·I_a.
T = 0,6·8.

Показать ответ и пошаговое решение

Двигатель постоянного тока: якорь — это сопротивление R_a, последовательно с которым включена противо-ЭДС E, поэтому V = E + I_a·R_a. Противо-ЭДС растёт со скоростью, E = k·ω, а момент — с током, T = k·I_a, с одной и той же постоянной двигателя k (V·s/rad = N·m/A) в единицах СИ. Скорости переводите по формуле ω = 2π·n/60. Развиваемая мощность равна E·I_a = T·ω; входная мощность равна V·I_a, а разницу составляют потери в меди I_a²R_a и потери на вращение. Скорость линейно падает с моментом, ω = V/k − R_a·T/k², от скорости холостого хода V/k до нуля при моменте при заторможенном роторе k·V/R_a. В неподвижном состоянии E = 0, поэтому пусковой ток V/R_a велик, если его не ограничивает резистор.

Крутящий момент

T = k·I_a = 0,6·8 = 4,8 N·m

Ответ

T = 4,8 N·m

В единицах СИ та же k является постоянной противо-ЭДС в V·s/rad.

Пример 2Средняя

Двигатель постоянного тока (k = 0,8 N·m/A, R_a = 0,4 Ω) работает от 110 V и приводит нагрузку с моментом 20 N·m. Найдите его скорость n в rpm.

V = 110 Vk = 0,8 N·m/AR_a = 0,4 ΩT = 20 N·m

Найти: n (rpm)

Показать подсказки

Момент задаёт ток: I_a = T/k.
I_a = 20/0,8 = 25 A.
ω = (V − I_aR_a)/k.

Показать ответ и пошаговое решение

Ток якоря

I_a = T/k = 20/0,8 = 25 A

Противо-ЭДС и скорость

E = 110 − 25·0,4 = 100 V

ω = E/k = 125 rad/s → n = 1194 rpm

Ответ

n = 1194 rpm

Пример 3Сложная

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения (k = 1,5 V·s/rad при полном поле, R_a = 1 Ω, V = 120 V) приводит нагрузку с постоянным моментом 6 N·m. Поток возбуждения уменьшают до 75 % от полного значения. Найдите новую скорость n.

V = 120 Vk = 1,5 V·s/radR_a = 1 ΩT = 6 N·mΦ = 75 %

Найти: n (rpm)

Показать подсказки

Обе постоянные пропорциональны потоку: k₂ = 0,75·k = 1,125.
I_a = T/k₂ = 5,333 A.
ω = (V − I_aR_a)/k₂.

Показать ответ и пошаговое решение

Ослабленная постоянная двигателя

k₂ = 0,75·1,5 = 1,125 V·s/rad

Новый ток якоря

I_a = 6/1,125 = 5,333 A

Новая скорость

ω = (120 − 5,333·1)/1,125 = 101,9 rad/s → n = 973,3 rpm

Ответ

n = 973,3 rpm

Ослабление поля — способ, которым привод постоянного тока работает выше основной скорости.

Вопросы и ответы

Двигатели постоянного тока: что это?

Двигатели постоянного тока: как решать задачи шаг за шагом?

Нарисуйте цепь якоря: источник V, сопротивление R_a и противо-ЭДС E включены последовательно.
Используйте V = E + I_a·R_a, чтобы связать напряжение, ток и противо-ЭДС.
Используйте E = k·ω для скорости и T = k·I_a для момента, где ω = 2π·n/60.
Для мощности и КПД начните с V·I_a, вычтите потери в меди I_a²·R_a, а затем потери на вращение.

Двигатели постоянного тока: какие ошибки самые частые?

Оставляют скорость в rpm в E = k·ω или P = T·ω.
Забывают, что в неподвижном состоянии противо-ЭДС равна нулю, из-за чего пусковой ток очень велик.
Прибавляют падение на якоре к напряжению питания вместо того, чтобы вычесть его.
Считают ток неизменным после ослабления поля: тот же момент требует большего тока.

Двигатели постоянного тока: что вы тренируете?

Лёгкая: противо-ЭДС, ток и момент
Средняя: скорость–момент и КПД
Сложная: пуск и регулирование скорости

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Последовательные и параллельные резисторы

Курсы с этой темой

Электроэнергетика и электрические машины Силовая электроника и электроприводы Мехатронные системы

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторы Метод наложения Тевенин и Нортон Метод узловых потенциалов Метод контурных токов Переходные процессы RC и RL Полное сопротивление и комплексные амплитуды Мощность переменного тока и коэффициент мощности LC-резонанс, добротность и полоса пропускания Трёхфазная мощность Трансформаторы Схемы на операционных усилителях Диоды и транзисторы Преобразователи постоянного напряжения Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры Мост Уитстона и тензорезисторы Сбор данных и дискретизация Преобразования Лапласа Структурные схемы Переходная характеристика Диаграммы Боде и запасы Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф Установившаяся ошибка и ПИД-регулирование Свёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Двигатели постоянного тока: лист заданий с ответами