Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: Таблица Рауса и число полюсов, диапазон K для устойчивости, корневой годограф.

Бесплатная задачаЛёгкая
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

Характеристический полином системы с обратной связью: Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Составьте таблицу Рауса и найдите, сколько корней N полинома Q(s) лежат в правой полуплоскости.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Точный ответ: целое число, без округления.

Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографЗанимайтесь сейчас: Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. ЛёгкаяТаблица Рауса и число полюсов
  2. Средняядиапазон K для устойчивости
  3. Сложнаякорневой годограф

Как решать задачи по теме «Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф»

  1. Запишите характеристический полином замкнутой системы: знаменатель уравнения 1 + K·G(s) = 0 после раскрытия скобок.
  2. Запишите коэффициенты поочерёдно в первые две строки таблицы Рауса и достройте остальные строки.
  3. Посчитайте смены знака в первом столбце: каждая — это один полюс в правой полуплоскости. Если в таблице есть K, потребуйте, чтобы все элементы первого столбца оставались положительными.
  4. Для корневого годографа отметьте полюса и нули, участки вещественной оси, асимптоты из центра и точки отрыва, где dK/ds = 0. Для коэффициента усиления в точке используйте K = 1/|G(s)|.

Типичные ошибки

  • Вывод об устойчивости системы только потому, что все коэффициенты положительны; для кубического и более высокого порядка этого недостаточно.
  • Забывают свободный член объекта при добавлении K: при трёх полюсах вне начала координат элемент s⁰ равен abc + K.
  • Принимают середину между двумя полюсами за точку отрыва, когда рядом есть третий полюс или нуль.
  • Подставляют положения полюсов без знаков в формулу центра асимптот.

Основные формулы

Устойчивость
все корни характеристического полинома в левой полуплоскости
таблица Рауса, элемент s¹ кубического полинома
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Корни в правой полуплоскости
число смен знака в первом столбце
Кубический полином s³ + a₂s² + a₁s + a₀
устойчив, когда все a > 0 и a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Характеристическое уравнение
1 + K·G(s) = 0
Асимптоты
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Точки отрыва и входа
dK/ds = 0
Условие по модулю
K = 1/|G(s)|
Угол выхода
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Изучите тему «Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф» с нуля

Перед этим: Преобразования Лапласа, Структурные схемы

1Что означает устойчивость

Система устойчива, если любой ограниченный вход даёт ограниченный выход. После возмущения устойчивая система успокаивается; неустойчивая уходит в разнос или колеблется с растущей амплитудой.

Поведение определяют полюса замкнутой системы: корни её характеристического полинома. Полюс в точке s = p добавляет в отклик слагаемое ept.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Полюс с отрицательной вещественной частью (левая полуплоскость) даёт затухающее слагаемое.
  • Полюс с положительной вещественной частью (правая полуплоскость) даёт слагаемое, неограниченно растущее.
  • Поэтому система устойчива, только когда все полюса лежат в левой полуплоскости.
Самопроверка Замкнутая система имеет полюса в точках −3, −1 + j2, −1 − j2 и +0,5. Устойчива ли она?
  1. Да, потому что три из четырёх полюсов находятся в левой полуплоскости
  2. Да, потому что у комплексных полюсов отрицательные вещественные части
  3. Нет, полюс в точке +0,5 делает её неустойчивой
  4. Нет, потому что комплексные полюса всегда делают систему неустойчивой

Ответ: Нет, полюс в точке +0,5 делает её неустойчивой. Достаточно одного полюса в правой полуплоскости: его слагаемое e0,5t растёт. Комплексные полюса в левой полуплоскости не мешают; они дают затухающие колебания.

2Таблица Рауса

Для кубического и более высокого порядка корни трудно найти вручную. Критерий Рауса–Гурвица показывает, сколько корней лежит в правой полуплоскости, не решая уравнение.

Запишите коэффициенты поочерёдно в первые две строки. Для s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Каждая новая строка строится по двум строкам над ней. Для кубического полинома элемент строки s¹ равен:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

Число смен знака в первом столбце равно числу корней в правой полуплоскости.

Пример: s³ + 2s² + 3s + 10. Первый столбец: 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Знаки: +, +, −, +: две смены, значит, два полюса лежат в правой полуплоскости.

Самопроверка Чему равен первый элемент строки s¹ для s³ + 4s² + 5s + 2?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Ответ: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Если забыть разделить на 4, получится 18; если поменять произведения местами, получится −4,5.

3Метод по шагам

  1. Запишите характеристическое уравнение замкнутой системы 1 + K·G(s) = 0 и раскройте скобки до полинома.
  2. Заполните первые две строки таблицы Рауса коэффициентами.
  3. Постройте остальные строки; если K встречается, оставьте его символом.
  4. Посчитайте смены знака в первом столбце или потребуйте, чтобы каждый элемент первого столбца был положительным, чтобы найти допустимый диапазон K.
  5. При предельном коэффициенте усиления строка s¹ равна нулю. Тогда строка s² даёт вспомогательное уравнение a·s² + b = 0, корни которого ±jω показывают частоту колебаний.

Быстрая проверка для кубического полинома s³ + a₂s² + a₁s + a₀: он устойчив ровно тогда, когда все коэффициенты положительны и a₂·a₁ > a₀.

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Контур ниже имеет L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). При каких K замкнутая система устойчива и с какой частотой она колеблется на границе?

1

Посмотрите на контур

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

Характеристическое уравнение: 1 + L(s) = 0, то есть s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Раскройте скобки

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Постройте таблицу Рауса

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

Элемент строки s¹ равен (6·8 − 1·K)/6.

4

Сохраните положительность первого столбца

Из строки s⁰: K > 0. Из строки s¹: 48 − K > 0, то есть K < 48.

5

Частота на границе

При K = 48 строка s¹ равна нулю. Строка s² даёт 6s² + 48 = 0, откуда s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Проверьте ответ

При K = 48 полином равен s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Его корни −6 и ±j2,83, как и ожидалось.

Ответ

Контур устойчив при 0 < K < 48; при K = 48 он колеблется с частотой ω = 2,83 rad/s.

5Корневой годограф

Корневой годограф показывает, как перемещаются полюса замкнутой системы при изменении K от 0 до ∞. Он начинается в полюсах разомкнутой системы (×) и заканчивается в её нулях (○) или в бесконечности.

  • Точка на вещественной оси принадлежит годографу, если число вещественных полюсов и нулей правее неё нечётно.
  • Ветви, уходящие в бесконечность (их n − m), идут вдоль асимптот под углами (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Асимптоты выходят из центра σa = (Σ полюсов − Σ нулей)/(n − m).
  • Ветви покидают вещественную ось или возвращаются на неё там, где dK/ds = 0, причём на оси K = −1/G(s).
  • Коэффициент усиления в любой точке s годографа равен K = 1/|G(s)|: произведение расстояний до полюсов, делённое на произведение расстояний до нулей.

Для L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) центр асимптот равен (0 − 2 − 4)/3 = −2, а асимптоты выходят под углами 60°, 180° и 300°.

ReIm0−2−460°

Точка отрыва между 0 и −2 следует из dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, откуда s = −0,845.

Самопроверка Для L(s) = K/((s + 1)(s + 5)) в какой точке две ветви покидают вещественную ось?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Ответ: s = −3. При двух вещественных полюсах и отсутствии нулей K = −(s + 1)(s + 5) наибольшее посередине между ними: dK/ds = −(2s + 6) = 0 даёт s = −3.

6Типичные ошибки

  • Называют систему устойчивой, потому что все её коэффициенты положительны. Для кубического и более высокого порядка нужен ещё тест Рауса.
  • Забывают свободный член объекта: для K/((s + a)(s + b)(s + c)) коэффициент при s⁰ равен abc + K, а не K.
  • Принимают середину между двумя полюсами за точку отрыва, когда третий полюс или нуль искривляет годограф.
  • Отбрасывают знаки в центре асимптот: множитель (s + 4) — это полюс в точке s = −4.
Самопроверка Является ли s³ + s² + 2s + 8 = 0 устойчивым характеристическим уравнением?
  1. Да: все коэффициенты положительны
  2. Да: коэффициенты не меняют знак
  3. Нет: a₂·a₁ = 2 меньше a₀ = 8
  4. Нет: кубический полином никогда не бывает устойчивым

Ответ: Нет: a₂·a₁ = 2 меньше a₀ = 8. Элемент строки s¹ равен (1·2 − 8)/1 = −6, поэтому первый столбец 1, 1, −6, 8 дважды меняет знак: два полюса лежат в правой полуплоскости. Положительных коэффициентов недостаточно.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкий: таблица Рауса и число полюсов. Нужно посчитать полюса в правой полуплоскости для кубического или четвёртого порядка, найти один элемент таблицы, найти полюс замкнутой системы для объекта первого порядка либо коэффициент усиления, ставящий его в заданную точку.
  • Средний: диапазон K. Нужно найти наибольший устойчивый коэффициент усиления, частоту колебаний при нём, наименьший коэффициент усиления, стабилизирующий неустойчивый объект, либо насколько можно повысить коэффициент усиления.
  • Сложный: корневой годограф. Нужно найти центр асимптот, пересечение с мнимой осью, точки отрыва и входа, угол выхода из комплексного полюса либо коэффициент усиления в заданной точке или при заданном коэффициенте демпфирования.

Для коэффициента усиления при заданном коэффициенте демпфирования запишите характеристический полином и сравните его с s² + 2ζωns + ωn².

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
R(s)+K1s + 10C(s)−

Пропорциональный коэффициент усиления K управляет объектом G(s) = 1/(s + 10) в контуре с единичной обратной связью. Найдите коэффициент K, при котором полюс замкнутой системы находится в точке s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Найти: K

Показать подсказки
  1. Полюс замкнутой системы — это корень уравнения s + 10 + 1K = 0.
  2. Подставьте s = −10,5 в это уравнение.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Показать ответ и пошаговое решение

Критерий Рауса–Гурвица: линейная система устойчива, если все корни её характеристического полинома лежат в левой полуплоскости s-плоскости. Запишите коэффициенты поочерёдно в первые две строки таблицы Рауса. Каждый элемент новой строки вычисляется по двум строкам над ней; для кубического полинома a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ элемент строки s¹ равен b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Число смен знака в первом столбце равно числу корней в правой полуплоскости. Если в коэффициенты входит коэффициент усиления K, все элементы первого столбца должны оставаться положительными: значение усиления, при котором элемент строки s¹ обращается в нуль, — граница устойчивости, а строка s² затем даёт частоту незатухающих колебаний.

Характеристическое уравнение

s + 10 + 1K = 0

Требуемое усиление

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Ответ

K = 0,5
Пример 2Средняя
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

Объект G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) имеет неустойчивый полюс в точке s = 4. Пропорциональный коэффициент усиления K замыкает вокруг него контур с единичной обратной связью. Найдите наименьший коэффициент усиления Kmin, при котором замкнутая система устойчива.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Найти: Kmin

Показать подсказки
  1. Характеристический полином: (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Полином второго порядка устойчив, когда оба его коэффициента положительны.
Показать ответ и пошаговое решение

Критерий Рауса–Гурвица: линейная система устойчива, если все корни её характеристического полинома лежат в левой полуплоскости s-плоскости. Запишите коэффициенты поочерёдно в первые две строки таблицы Рауса. Каждый элемент новой строки вычисляется по двум строкам над ней; для кубического полинома a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ элемент строки s¹ равен b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. Число смен знака в первом столбце равно числу корней в правой полуплоскости. Если в коэффициенты входит коэффициент усиления K, все элементы первого столбца должны оставаться положительными: значение усиления, при котором элемент строки s¹ обращается в нуль, — граница устойчивости, а строка s² затем даёт частоту незатухающих колебаний.

Характеристический полином

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Условия

Для s² + c₁s + c₀ все корни лежат в левой полуплоскости ровно тогда, когда c₁ > 0 и c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Ответ

Kmin = 3
Пример 3Сложная
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Корневой годограф L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) покидает вещественную ось между s = 0 и s = −4. Найдите точку отрыва sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Найти: sb

Показать подсказки
  1. На вещественной оси K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Приравняйте dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Возьмите корень, лежащий между 0 и −4.
Показать ответ и пошаговое решение

Корневой годограф: при изменении коэффициента усиления K от 0 до ∞ полюса замкнутой системы, то есть корни уравнения 1 + K·G(s) = 0, перемещаются от полюсов разомкнутой системы к её нулям или в бесконечность. Точка на вещественной оси принадлежит годографу, если число вещественных полюсов и нулей правее неё нечётно. Ветви, уходящие в бесконечность (их n − m), идут вдоль асимптот под углами (2q + 1)·180°/(n − m), выходящих из центра асимптот σₐ = (Σ полюсов − Σ нулей)/(n − m). Ветви покидают вещественную ось или возвращаются на неё там, где dK/ds = 0. Условие по углу ∠G(s) = 180° определяет форму годографа, а условие по модулю K = 1/|G(s)| даёт коэффициент усиления в любой точке годографа.

Коэффициент усиления вдоль вещественной оси

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Стационарные точки

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Выберите точку на годографе

Годограф лежит на вещественной оси между 0 и −4; другой корень годографу не принадлежит.

sb = −1,761

Ответ

sb = −1,761

Вопросы и ответы

Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф: что это?

Система устойчива, если любой ограниченный вход даёт ограниченный выход. После возмущения устойчивая система успокаивается; неустойчивая уходит в разнос или колеблется с растущей амплитудой.

Поведение определяют полюса замкнутой системы: корни её характеристического полинома. Полюс в точке s = p добавляет в отклик слагаемое ept.

Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Запишите характеристический полином замкнутой системы: знаменатель уравнения 1 + K·G(s) = 0 после раскрытия скобок.
  2. Запишите коэффициенты поочерёдно в первые две строки таблицы Рауса и достройте остальные строки.
  3. Посчитайте смены знака в первом столбце: каждая — это один полюс в правой полуплоскости. Если в таблице есть K, потребуйте, чтобы все элементы первого столбца оставались положительными.
  4. Для корневого годографа отметьте полюса и нули, участки вещественной оси, асимптоты из центра и точки отрыва, где dK/ds = 0. Для коэффициента усиления в точке используйте K = 1/|G(s)|.
Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф: какие ошибки самые частые?
  • Вывод об устойчивости системы только потому, что все коэффициенты положительны; для кубического и более высокого порядка этого недостаточно.
  • Забывают свободный член объекта при добавлении K: при трёх полюсах вне начала координат элемент s⁰ равен abc + K.
  • Принимают середину между двумя полюсами за точку отрыва, когда рядом есть третий полюс или нуль.
  • Подставляют положения полюсов без знаков в формулу центра асимптот.
Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф: что вы тренируете?
  • Лёгкая: Таблица Рауса и число полюсов
  • Средняя: диапазон K для устойчивости
  • Сложная: корневой годограф

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Преобразования ЛапласаСтруктурные схемы

Калькуляторы

Калькулятор критерия устойчивости Рауса–Гурвица

Курсы с этой темой

Теория управления 1Теория управления 2: проектирование систем с обратной связьюПодготовка к экзамену FE Electrical and Computer

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годограф: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографЗанимайтесь сейчас: Устойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.