Метод наложения: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: принцип наложения · метод суперпозиции · принцип суперпозиции

Бесплатные задачи по теме Метод наложения с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: 2 источника напряжения, источник напряжения + источник тока, 3 источника.

Бесплатная задачаЛёгкая
R1​ = 8 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​8 V

Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 15 VV2 = 8 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
A
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Метод наложенияЗанимайтесь сейчас: Метод наложенияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкая2 источника напряжения
  2. Средняяисточник напряжения + источник тока
  3. Сложная3 источника

Как решать задачи по теме «Метод наложения»

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Типичные ошибки

  • Источник напряжения удаляют, а не заменяют проводом.
  • Вклады складывают, не проверив их направления.
  • Принцип наложения применяют к мощности: мощность не линейна, поэтому сначала найдите полный ток, а затем мощность.

Основные формулы

Метод наложения
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения
короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока
разрыв (0 A)
Делитель напряжения
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Делитель тока
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Изучите тему «Метод наложения» с нуля

Перед этим: Последовательные и параллельные резисторы

1Что такое суперпозиция

Во многих цепях больше одного источника: две батареи или батарея и источник тока.

Решать всё сразу бывает трудно. Принцип суперпозиции позволяет разбить задачу на более простые части.

Идея такова: каждый источник создаёт в цепи свой собственный ток. Реальный ток в резисторе равен сумме того, что вызывает каждый источник по отдельности.

Представьте два крана, наполняющих одну ванну. Уровень воды растёт на то, что добавляет первый кран, плюс то, что добавляет второй.

Самопроверка Что позволяет сделать суперпозиция?
  1. Заменить все резисторы одним резистором
  2. Игнорировать все источники, кроме самого большого
  3. Перемножить действия источников
  4. Решить цепь по одному разу для каждого источника и сложить результаты

Ответ: Решить цепь по одному разу для каждого источника и сложить результаты. Вы рассматриваете по одному источнику, находите, что он вызывает, и в конце складываете все вклады.

2Отключение источника

Чтобы рассмотреть один источник отдельно, остальные источники отключают. Отключить — значит приравнять источник к нулю.

  • Источник напряжения при 0 V становится простым проводом (коротким замыканием).
  • Источник тока при 0 A становится разрывом (холостым ходом).
+−0 V0 A

Отключаются только источники. Все резисторы остаются точно на своих местах.

Это работает для цепей из резисторов и независимых источников. Такие цепи называются линейными: если удвоить источник, удвоится и всё, что он вызывает.

Самопроверка Как отключить источник тока?
  1. Заменить его коротким замыканием (проводом)
  2. Заменить его разрывом (промежутком)
  3. Заменить его резистором 1 Ω
  4. Убрать соседний резистор

Ответ: Заменить его разрывом (промежутком). Отключённый источник тока даёт 0 A. Только разрыв не пропускает ток при любом напряжении.

3Необходимые инструменты

В каждой упрощённой цепи только один источник, поэтому её можно решить с помощью последовательного и параллельного соединения резисторов.

Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)

Чаще всего применяется делитель напряжения. Два последовательных резистора делят напряжение источника пропорционально своим сопротивлениям:

V2 = V · R2 / (R1 + R2)

Затем закон Ома, I = V/R, даёт ток в любом резисторе, когда известно его напряжение.

Самопроверка Источник 12 V питает последовательно соединённые резисторы 6 Ω и 2 Ω. Каково напряжение на резисторе 2 Ω?
  1. 3 V
  2. 4 V
  3. 6 V
  4. 9 V

Ответ: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. Меньшему резистору достаётся меньшая доля напряжения.

4Метод по шагам

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого из них вы решите одну более простую цепь.
  2. Оставьте один источник и отключите все остальные: источники напряжения становятся проводами, источники тока — разрывами.
  3. Решите упрощённую цепь для нужной величины. Сохраните то же направление (или те же + и −), что и в вопросе.
  4. Повторите для каждого источника.
  5. Сложите все вклады с их знаками. Вклад в противоположном направлении считается отрицательным.

Перед расчётом нарисуйте каждую упрощённую цепь. Большинство ошибок возникает, когда смотрят на исходный рисунок, а решают другую цепь.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Найдите ток I3 через R3 (вниз) в этой цепи.

1

Посмотрите на цепь

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V+−V2​6 V

Здесь два источника: V1 = 12 V и V2 = 6 V. Поэтому мы решаем две более простые цепи.

2

Включён только V₁

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V0 V

Замените V2 проводом. Теперь R2 идёт от узла A прямо к нижнему проводу, так что R2 и R3 соединены параллельно.

R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3

Делитель напряжения для V₁

Источник V1 видит R1 = 6 Ω последовательно с параллельной парой 2 Ω. Напряжение в точке A — это доля участка 2 Ω:

VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4

Включён только V₂

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A0 V+−V2​6 V

Теперь замените V1 проводом. R1 и R3 соединены параллельно: 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.

VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1,5 V
I3″ = 1,5 V / 3 Ω = 0,5 A
5

Сложите составляющие

Оба вклада текут вниз через R3, поэтому оба положительны.

I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0,5 = 1,5 A
6

Проверьте ответ

При включённых обоих источниках VA = 3 + 1,5 = 4,5 V. Токи в узел A с обеих сторон равны (12 − 4,5)/6 = 1,25 A и (6 − 4,5)/6 = 0,25 A.

Вместе это 1,5 A — ровно тот ток, который уходит через R3. Ответ верен.

Ответ

I3 = 1,5 A, направлен вниз.

6Типичные ошибки

  • Убрать источник напряжения и оставить разрыв. Отключённый источник напряжения — это провод.
  • Складывать вклады, не проверив их направления. Нарисуйте стрелку для каждого вклада.
  • Считать мощность методом суперпозиции. Мощность нелинейна: сначала найдите полный ток, затем P = I²·R.
  • Забыть об одном из источников. При трёх источниках нужны три простые цепи.
Самопроверка В примере I₃′ = 1 A и I₃″ = 0,5 A в резисторе 3 Ω. Какую мощность потребляет R₃?
  1. 2,25 W
  2. 3,75 W
  3. 4,5 W
  4. 6,75 W

Ответ: 6,75 W. Сначала сложите токи: 1,5 A. Затем P = 1,5² · 3 = 6,75 W. Сложить две отдельные мощности (3 + 0,75 = 3,75 W) неверно, потому что мощность нелинейна.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкие: два источника напряжения и три резистора. Каждая упрощённая цепь — это делитель напряжения.
  • Средние: источник напряжения и источник тока. Помните, что отключённый источник тока становится разрывом.
  • Сложные: три источника, а искомой величиной может быть напряжение узла или ток ветви.

В некоторых задачах даны только измерения. Например: при обоих включённых источниках ток равен 6,5 mA, а при выключенном V2 — 4,5 mA. Тогда один V2 создаёт 2 mA.

Поскольку цепь линейна, при удвоении V1 его вклад удваивается. Используйте это, чтобы предсказать ток после изменения источника.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 Ω+−VR3​A+−V2​18 V

Используйте метод наложения, чтобы найти напряжение VR3 на R3 с указанной полярностью.

V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω

Найти: VR3 (V)

Показать подсказки
  1. В этой цепи 2 независимых источника, поэтому решите 2 более простые цепи — по одной на источник. Остальные отключите: источник напряжения становится коротким замыканием, источник тока — разрывом.
  2. Когда действует только V₁, R₂ и R₃ оказываются параллельными. Используйте делитель напряжения, чтобы найти напряжение в узле A.
  3. Когда действует только V1, VR3′ = 2,634 V. Другую составляющую найдите так же и сложите.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 ΩAКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, поэтому R₂ теперь идёт от A к земле, параллельно R₃.

R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1,714/(10+1,714) = 2,634 V
VR3′ = VA − 0 = 2,634 − 0 = 2,634 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩКЗR3​2 ΩA+−V2​18 V

Случай 2 · действует только V2

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ теперь идёт от A к земле, параллельно R₃.

R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1,667/(12+1,667) = 2,195 V
VR3″ = VA − 0 = 2,195 − 0 = 2,195 V

Сложите составляющие

VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2,634 + 2,195 = 4,829 V

Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.

Пример 2Средняя
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩIR4​BIs​2 A

Используйте метод наложения, чтобы найти мощность PR4, потребляемую R4.

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω

Найти: PR4 (W)

Показать подсказки
  1. В этой цепи 2 независимых источника, поэтому решите 2 более простые цепи — по одной на источник. Остальные отключите: источник напряжения становится коротким замыканием, источник тока — разрывом.
  2. Найдите ток IR4 через R4 методом наложения, затем возведите его в квадрат: P = I²R.
  3. Когда действует только V1, IR4′ = 0,07059 A.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBОБРЫВ

Случай 1 · действует только V1

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
VA = 6·4,615/(15+4,615) = 1,412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,412·12/20 = 0,8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0,8471 − 0)/12 = 0,07059 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

Случай 2 · действует только Is

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12,29 = 6,071 Ω
VB = Is·Req = 2·6,071 = 12,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,14·4,286/12,29 = 4,235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12,14 − 0)/12 = 1,012 A

Складываем вклады токов

IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,07059 + 1,012 = 1,082 A

Мощность в резисторе

Мощность зависит от квадрата тока, поэтому принцип наложения к ней неприменим: сначала сложите токи, затем возведите в квадрат.

PR4 = IR4²·R4 = 1,082²·12 = 14,06 W

Ответ

PR4 = 14,06 W

Сложение мощностей отдельных случаев дало бы 12,34 W, что неверно.

Пример 3Сложная
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 Ω+−VR2​R4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAIs​1 AB+−V2​15 V

Используйте метод наложения, чтобы найти напряжение VR2 на R2 с указанной полярностью.

V1 = 12 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 Ω

Найти: VR2 (V)

Показать подсказки
  1. В этой цепи 3 независимых источника, поэтому решите 3 более простые цепи — по одной на источник. Остальные отключите: источник напряжения становится коротким замыканием, источник тока — разрывом.
  2. Начните только с V₁: закоротите V₂, разомкните Iₛ. Со стороны A резистор R₃ параллелен R₂+R₄.
  3. Когда действует только V1, VR2′ = 0,6379 V. Остальные составляющие найдите так же и сложите.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAОБРЫВBКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6,27 Ω
VA = 12·6,27/(10+6,27) = 4,625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,625·25/29 = 3,987 V
VR2′ = VA − VB = 4,625 − 3,987 = 0,6379 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩКЗR3​8 ΩAIs​1 ABКЗ

Случай 2 · действует только Is

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, поэтому левый путь — R2+4,444 = 8,444 Ω
Req = R4 ∥ 8,444 = 6,312 Ω
VB = Is·Req = 1·6,312 = 6,312 V
VA = VB·4,444/8,444 = 3,322 V
VR2″ = VA − VB = 3,322 − 6,312 = −2,99 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩКЗR3​8 ΩAОБРЫВB+−V2​15 V

Случай 3 · действует только V2

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8,444/33,44 = 3,787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,787·4,444/8,444 = 1,993 V
VR2‴ = VA − VB = 1,993 − 3,787 = −1,794 V

Сложите составляющие

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0,6379 + (−2,99) + (−1,794) = −4,146 V

Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.

Вопросы и ответы

Метод наложения: что это?

Во многих цепях больше одного источника: две батареи или батарея и источник тока.

Решать всё сразу бывает трудно. Принцип суперпозиции позволяет разбить задачу на более простые части.

Метод наложения: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.
Метод наложения: какие ошибки самые частые?
  • Источник напряжения удаляют, а не заменяют проводом.
  • Вклады складывают, не проверив их направления.
  • Принцип наложения применяют к мощности: мощность не линейна, поэтому сначала найдите полный ток, а затем мощность.
Метод наложения: что вы тренируете?
  • Лёгкая: 2 источника напряжения
  • Средняя: источник напряжения + источник тока
  • Сложная: 3 источника

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Последовательные и параллельные резисторы

Курсы с этой темой

Теория электрических цепей 1Подготовка к экзамену FE Electrical and Computer

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Метод наложения: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Метод наложенияЗанимайтесь сейчас: Метод наложенияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.