Полное сопротивление и комплексные амплитуды: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: символический метод · комплексное сопротивление · векторная диаграмма · импеданс

Бесплатные задачи по теме Полное сопротивление и комплексные амплитуды с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: последовательная RL, последовательная RLC, напряжение на конденсаторе и резонанс.

Бесплатная задачаЛёгкая
120 V50 HzR = 40 ΩL = 150 mH

Последовательная цепь RL подключена к сети 120 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее напряжение VR на резисторе.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mH
V
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Полное сопротивление и комплексные амплитудыЗанимайтесь сейчас: Полное сопротивление и комплексные амплитудыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяпоследовательная RL
  2. Средняяпоследовательная RLC
  3. Сложнаянапряжение на конденсаторе и резонанс

Как решать задачи по теме «Полное сопротивление и комплексные амплитуды»

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Типичные ошибки

  • Используют f вместо ω.
  • Складывают модули сопротивлений, а не комплексные значения.
  • Забывают, что ёмкостное сопротивление входит в комплексное сопротивление со знаком минус.

Основные формулы

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Изучите тему «Полное сопротивление и комплексные амплитуды» с нуля

Перед этим: Последовательные и параллельные резисторы

1Что такое переменный ток и импеданс

Сетевое питание — это переменный ток (AC): напряжение колеблется вверх и вниз, как синусоида, много раз в секунду.

Частота f — число полных колебаний в секунду, в герцах (Hz). Сеть имеет 50 Hz в Европе и 60 Hz в Северной Америке.

В расчётах переменного тока часто используют угловую частоту:

ω = 2π·f (rad/s)

Напряжения и токи переменного тока обычно задают действующими (rms) значениями. Действующее значение совершает ту же тепловую работу, что и постоянный ток такой величины. «230 V» в сети означает 230 V rms.

В цепях переменного тока ток ограничивают не только резисторы, но и катушки индуктивности и конденсаторы. Их совместное действие называется импедансом Z и измеряется в омах.

Самопроверка Источник работает на частоте 50 Hz. Чему равна его угловая частота ω?
  1. 157 rad/s
  2. 314 rad/s
  3. 50 rad/s
  4. 7,96 rad/s

Ответ: 314 rad/s. ω = 2π·50 = 314 rad/s. Использование самой f (50) или деление на 2π (7,96) — обычные ошибки; 157 забывает множитель 2.

2Реактивное сопротивление катушки и конденсатора

Катушка индуктивности и конденсатор сопротивляются переменному току так, что это зависит от частоты. Это частотно-зависимое сопротивление называется реактивным сопротивлением X, в омах.

XL = ω·L XC = 1 / (ω·C)
  • Катушка индуктивности противодействует быстрым изменениям. Её реактивное сопротивление XL растёт с частотой. На постоянном токе (f = 0) она — простой провод.
  • Конденсатор блокирует постоянный ток, но пропускает быстрые изменения. Его реактивное сопротивление XC падает с ростом частоты.

Всегда используйте L в генри и C в фарадах: 100 mH = 0,1 H и 10 µF = 10·10−6 F.

Самопроверка Чему равно реактивное сопротивление катушки 100 mH на частоте 50 Hz?
  1. 0,0318 Ω
  2. 31,4 Ω
  3. 5 Ω
  4. 5000 Ω

Ответ: 31,4 Ω. XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,4 Ω. Использование f вместо ω даёт 5 Ω, а если забыть перевести mH в H — 5000 Ω.

3Импеданс и фазовый угол

В резисторе напряжение и ток растут и падают вместе. В катушке ток отстаёт от напряжения на четверть периода; в конденсаторе он опережает на четверть периода.

Из-за этого сдвига R и X нельзя складывать как обычные числа. Их складывают под прямым углом, записывая комплексным числом с j:

Z = R + j·(XL − XC)
RXL​|Z|φ

Величина импеданса и его угол получаются из прямоугольного треугольника:

|Z| = √(R² + X²) φ = arctan(X / R)

Закон Ома работает с модулем: I = V / |Z|. Угол φ показывает, насколько ток отстаёт от напряжения. Положительный φ означает индуктивный характер (ток отстаёт); отрицательный φ — ёмкостный.

Самопроверка В последовательной цепи R = 30 Ω и XL = 40 Ω. Чему равен |Z|?
  1. 10 Ω
  2. 2500 Ω
  3. 50 Ω
  4. 70 Ω

Ответ: 50 Ω. |Z| = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω. Сложение двух значений (70 Ω) игнорирует прямой угол, а 2500 забывает квадратный корень.

4Метод по шагам

  1. Переведите частоту: ω = 2π·f.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC). Используйте H и F.
  3. Найдите суммарное реактивное сопротивление X = XL − XC (последовательная цепь).
  4. Найдите |Z| = √(R² + X²) и, при необходимости, φ = arctan(X/R).
  5. Используйте закон Ома: I = V/|Z|. Затем напряжение на одной части равно I, умноженному на её R или X.

В последовательной цепи через каждую часть течёт один и тот же ток. Поэтому вы можете сначала найти I и использовать его везде.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Последовательная RL-цепь с R = 50 Ω и L = 100 mH подключена к источнику 120 V (rms), 60 Hz. Найдите |Z|, действующий ток I и фазовый угол φ.

1

Посмотрите на цепь

120 V60 HzR = 50 ΩL = 100 mHI

Конденсатора нет, поэтому XC = 0.

2

Угловая частота и реактивное сопротивление

ω = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
3

Полное сопротивление

50 Ω37,7 Ω62,6 Ωφ
|Z| = √(50² + 37,7²) = 62,6 Ω
4

Ток и фазовый угол

I = V / |Z| = 120 / 62,6 = 1,92 A
φ = arctan(37,7 / 50) = 37,0°

Угол положителен, значит, ток отстаёт от напряжения, как и ожидается для индуктивной цепи.

5

Проверьте ответ

Резистор забирает 1,92·50 = 95,8 V, а катушка 1,92·37,7 = 72,2 V. Сложенные как обычные числа они дают 168 V, больше напряжения источника.

Сложенные под прямым углом они дают верный результат: √(95,8² + 72,2²) = 120 V, напряжение источника.

Ответ

|Z| = 62,6 Ω, I = 1,92 A и φ = 37,0° (ток отстаёт).

6Типичные ошибки

  • Использовать f вместо ω = 2πf в XL и XC.
  • Складывать R, XL и XC как обычные числа. R перпендикулярно X; XL и XC направлены в противоположные стороны.
  • Забывать, что ёмкостное реактивное сопротивление вычитается: X = XL − XC.
  • Оставлять L в mH или C в µF либо использовать калькулятор в радианах, когда нужен φ в градусах.
Самопроверка Последовательная RLC-цепь имеет R = 40 Ω, XL = 50 Ω и XC = 20 Ω. Чему равен |Z|?
  1. 110 Ω
  2. 50 Ω
  3. 70 Ω
  4. 80,6 Ω

Ответ: 50 Ω. X = 50 − 20 = 30 Ω, поэтому |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω. Если прибавить XC вместо вычитания, получится √(40² + 70²) = 80,6 Ω; 110 Ω получается, если сложить всё как обычные числа.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: последовательная RL-цепь в сети 50 Hz или 60 Hz. Нужно найти |Z| или действующее значение тока I.
  • Средняя: последовательная RLC-цепь на разных частотах. Нужно найти ток I или угол сдвига фаз φ, который отрицателен, когда XC больше XL.
  • Сложная: последовательная RLC-цепь, в которой нужно найти напряжение на конденсаторе, ток или резонансную частоту.

Чтобы найти напряжение на конденсаторе, сначала найдите I, а затем VC = I·XC. Вблизи резонанса оно может быть больше напряжения источника.

При резонансе XL = XC, они взаимно компенсируются, и |Z| = R. Частота источника при этом не важна:

f0 = 1 / (2π·√(L·C))

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
V100 HzC = 1 µF

Найдите реактивное сопротивление XC конденсатора ёмкостью 1 µF на частоте 100 Hz.

C = 1 µFf = 100 Hz

Найти: XC (Ω)

Показать подсказки
  1. Переведите L и C в реактивные сопротивления: XL = 2πfL и XC = 1/(2πfC).
  2. Сначала переведите µF в F: умножьте на 10⁻⁶.
  3. ω = 628,3 rad/s.
Показать ответ и пошаговое решение

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω

Ответ

XC = 1592 Ω
Пример 2Средняя
Vf0​ = 1000 HzRL = 200 mHC = ?

Последовательный RLC-контур с L = 200 mH должен резонировать на частоте 1000 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f0 = 1000 HzL = 200 mH

Найти: C (µF)

Показать подсказки
  1. При резонансе XL = XC, откуда f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. Преобразуем: C = 1/((2πf₀)²·L).
  3. (2πf₀)² = 3,948 × 10⁷ s⁻².
Показать ответ и пошаговое решение

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,2) = 0,1267 µF

Ответ

C = 0,1267 µF
Пример 3Сложная
VfR = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Последовательный RLC-контур имеет R = 20 Ω, L = 200 mH и C = 1 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

Найти: Q

Показать подсказки
  1. Сначала найдите резонансную частоту f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. Q = ω₀L/R = (1/R)·√(L/C).
  3. f₀ = 355,9 Hz, Q = 22,36.
Показать ответ и пошаговое решение

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонансная частота

f0 = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 22,36

Ответ

Q = 22,36

Вопросы и ответы

Полное сопротивление и комплексные амплитуды: что это?

Сетевое питание — это переменный ток (AC): напряжение колеблется вверх и вниз, как синусоида, много раз в секунду.

В расчётах переменного тока часто используют угловую частоту:

Полное сопротивление и комплексные амплитуды: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.
Полное сопротивление и комплексные амплитуды: какие ошибки самые частые?
  • Используют f вместо ω.
  • Складывают модули сопротивлений, а не комплексные значения.
  • Забывают, что ёмкостное сопротивление входит в комплексное сопротивление со знаком минус.
Полное сопротивление и комплексные амплитуды: что вы тренируете?
  • Лёгкая: последовательная RL
  • Средняя: последовательная RLC
  • Сложная: напряжение на конденсаторе и резонанс

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Последовательные и параллельные резисторы

Далее

Мощность переменного тока и коэффициент мощностиДиаграммы Боде и запасыLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрансформаторы

Калькуляторы

Калькулятор полного сопротивления RLC-цепи

Курсы с этой темой

Теория электрических цепей 2: цепи переменного токаОсновы электротехникиФизика 2: Электричество и магнетизмЭлектроэнергетика и электрические машиныПодготовка к экзамену FE Electrical and Computer

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLМощность переменного тока и коэффициент мощностиLC-резонанс, добротность и полоса пропусканияТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

Полное сопротивление и комплексные амплитуды: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Полное сопротивление и комплексные амплитудыЗанимайтесь сейчас: Полное сопротивление и комплексные амплитудыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.