LC-резонанс, добротность и полоса пропускания: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме LC-резонанс, добротность и полоса пропускания с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: собственная частота, добротность и энергия, последовательный и параллельный RLC, проектирование, потери и затухание.

Бесплатная задачаЛёгкая
C = ?L = 4,7 mH

LC-контур с L = 4,7 mH должен резонировать на частоте 50 kHz. Найдите ёмкость C в nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияЗанимайтесь сейчас: LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаясобственная частота, добротность и энергия
  2. Средняяпоследовательный и параллельный RLC
  3. Сложнаяпроектирование, потери и затухание

Как решать задачи по теме «LC-резонанс, добротность и полоса пропускания»

  1. Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
  2. Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
  3. Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
  4. В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.

Типичные ошибки

  • Путать ω₀ (rad/s) и f₀ (Hz): они различаются в 2π раз.
  • Применять формулу Q для последовательного контура к параллельному, где большее R означает более высокую добротность.
  • Помещать f₀ посередине между f₁ и f₂: это их среднее геометрическое √(f₁f₂).
  • Забывать переводить µH, nF и pF в H и F.

Основные формулы

Собственная частота
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Энергия
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Пиковый ток
Imax = V0√(C/L)
Добротность
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Последовательный RLC-контур
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Параллельный RLC-контур
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Полоса пропускания
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Частоты половинной мощности
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Контур с сопротивлением катушки r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Затухание амплитуды
e−Rt/(2L)

Изучите тему «LC-резонанс, добротность и полоса пропускания» с нуля

Перед этим: Полное сопротивление и комплексные амплитуды

1Что происходит в LC-контуре

Зарядите конденсатор и подключите его к катушке индуктивности. Конденсатор создаёт в катушке ток. Ток создаёт магнитное поле, и когда конденсатор разряжен, поле поддерживает ток, так что конденсатор заряжается в обратную сторону. Затем всё повторяется в обратном порядке.

C+−Li

Энергия переходит между электрическим полем C (½Cv²) и магнитным полем L (½Li²), как маятник переходит между высотой и скоростью. Без сопротивления полная энергия ½CV0² остаётся постоянной.

Самопроверка В момент, когда напряжение на конденсаторе равно нулю, где находится энергия идеального LC-контура?
  1. Вся в катушке, а ток максимален
  2. Вся в конденсаторе
  3. Она потеряна в виде тепла
  4. Половина в C и половина в L

Ответ: Вся в катушке, а ток максимален. При v = 0 в конденсаторе запасено ½Cv² = 0, поэтому вся энергия ½Li² находится в катушке: ток максимален. В идеальном контуре нет сопротивления, поэтому ничего не теряется.

2Собственная частота

Контур колеблется на частоте, при которой реактивные сопротивления L и C равны, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

При L = 10 mH и C = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s и f0 = 1592 Hz. Энергия переходит из C в L за четверть периода T = 1/f0.

Энергия также даёт пиковый ток: ½CV0² = ½LImax², откуда Imax = V0√(C/L).

Самопроверка Что происходит с f0, если удвоить C?
  1. Она увеличивается в √2 раз
  2. Она удваивается
  3. Она уменьшается вдвое
  4. Она уменьшается до f0/√2, примерно 0,71·f0

Ответ: Она уменьшается до f0/√2, примерно 0,71·f0. f0 пропорциональна 1/√C, поэтому при удвоении C она делится на √2. Вдвое она уменьшается лишь тогда, когда C становится в четыре раза больше.

3Добротность и полоса пропускания

В реальных контурах энергия теряется на сопротивлении. Добротность Q сравнивает запасённую энергию с потерями: Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Высокая добротность даёт острый резонансный пик.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

Полоса пропускания — это ширина пика между частотами половинной мощности f1 и f2, на которых ток составляет 0,707 от пикового:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • Последовательный RLC: Q = (1/R)·√(L/C) и BW = R/(2πL). Малое последовательное сопротивление даёт высокую добротность.
  • Параллельный RLC: Q = R·√(C/L) и BW = 1/(2πRC). Большое параллельное сопротивление даёт высокую добротность.

4Метод по шагам

  1. Переведите L и C в H и F, затем найдите ω0 = 1/√(LC) и f0 = ω0/(2π).
  2. Определите, включено ли R последовательно или параллельно, и используйте соответствующую формулу для Q.
  3. Найдите полосу пропускания BW = f0/Q.
  4. Для частот половинной мощности используйте f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); при высокой добротности близкий результат даёт f0 ∓ BW/2.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Последовательный RLC-контур имеет R = 10 Ω, L = 10 mH и C = 1 µF. Найдите его резонансную частоту, добротность, полосу пропускания и частоты половинной мощности.

1

Посмотрите на цепь

RLC

Все три элемента обтекаются одним и тем же током, поэтому контур последовательный.

2

Резонансная частота

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Добротность

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Полоса пропускания

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Проверка: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Частоты половинной мощности

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz и 1673 Hz

Проверка: 1673 − 1514 = 159 Hz, и √(1514·1673) = 1592 Hz.

Ответ

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz и f2 = 1,67 kHz.

6Типичные ошибки

  • Путать ω0 в rad/s и f0 в Hz: они различаются в 2π раз.
  • Применять формулу Q для последовательного контура к параллельному.
  • Помещать f0 посередине между f1 и f2: это их среднее геометрическое.
  • Забывать переводить mH, µH, nF и pF в H и F.
Самопроверка Параллельный RLC-контур имеет R = 10 kΩ, L = 10 mH и C = 1 µF. Чему равна его добротность Q?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Ответ: 100. В параллельном контуре Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. Формула для последовательного контура (1/R)·√(L/C) даёт 0,01, а пропуск квадратного корня даёт 1.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкие: собственная частота, добротность и энергия. Нужно найти f0 или C для заданной f0, полосу пропускания по Q или Q по полосе, запасённую энергию или пиковый ток.
  • Средние: последовательный и параллельный RLC. Нужно найти Q или полосу пропускания последовательного или параллельного контура, точную частоту половинной мощности, время перехода энергии из C в L или энергию в L при заданном напряжении на конденсаторе.
  • Сложные: проектирование, потери и затухание. Нужно подобрать R для заданной полосы или C для фильтра, найти энергию, теряемую за период, динамическое сопротивление контура, число периодов до уменьшения амплитуды вдвое или Q по двум частотам половинной мощности.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
C = ?L = 47 µH

LC-контур с L = 47 µH должен резонировать на частоте 500 kHz. Найдите ёмкость C в nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Найти: C (nF)

Показать подсказки
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Показать ответ и пошаговое решение

LC-резонанс: заряженный конденсатор, подключённый к катушке индуктивности, создаёт ток, который заряжает его в обратную сторону: энергия переходит между электрическим полем C (½Cv²) и магнитным полем L (½Li²) на собственной частоте f0 = 1/(2π√(LC)). Без сопротивления полная энергия ½CV0² остаётся постоянной, поэтому пиковый ток равен Imax = V0√(C/L). Один период равен T = 1/f0; энергия переходит из C в L за его четверть.

Угловая частота

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Ёмкость

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Ответ

C = 2,156 nF
Пример 2Средняя
V2 Ω2,2 mH220 nF

Последовательный RLC-контур имеет R = 2 Ω, L = 2,2 mH и C = 220 nF. Найдите его полосу пропускания BW в Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Найти: BW (Hz)

Показать подсказки
  1. Полоса пропускания равна f₀/Q.
  2. Для последовательного RLC это упрощается до BW = R/(2πL): C сокращается.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Показать ответ и пошаговое решение

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f1 и f2 (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f2 − f1 = f0/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e−Rt/(2L).

Полоса пропускания в rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Полоса пропускания в Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Ответ

BW = 144,7 Hz

При f₀ = 7,234 kHz получаем Q = 50.

Пример 3Сложная
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Параллельный колебательный контур состоит из конденсатора 10 nF и катушки 47 µH с сопротивлением обмотки 0,5 Ω. При резонансе он ведёт себя как резистор с динамическим сопротивлением RD = L/(C·r). Найдите RD в kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Найти: RD (kΩ)

Показать подсказки
  1. При резонансе контур потребляет лишь малый ток, поэтому его сопротивление велико.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Показать ответ и пошаговое решение

Добротность и полоса пропускания: в резонансном контуре Q = 2π·(запасённая энергия)/(энергия, теряемая за период). Для последовательного RLC Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); для параллельного RLC Q = R/(ω0L) = R√(C/L). Полоса пропускания между частотами половинной мощности f1 и f2 (где мощность вдвое меньше, а ток или напряжение составляют 1/√2 от пикового) равна BW = f2 − f1 = f0/Q, то есть R/(2πL) для последовательного и 1/(2πRC) для параллельного контура. Резонансная частота — это среднее геометрическое f0 = √(f1f2), а f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Потери также вызывают затухание колебаний: в последовательном RLC амплитуда убывает как e−Rt/(2L).

Динамическое сопротивление

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Проверка через Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Ответ

RD = 9,4 kΩ

Вопросы и ответы

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания: что это?

Зарядите конденсатор и подключите его к катушке индуктивности. Конденсатор создаёт в катушке ток. Ток создаёт магнитное поле, и когда конденсатор разряжен, поле поддерживает ток, так что конденсатор заряжается в обратную сторону. Затем всё повторяется в обратном порядке.

Энергия переходит между электрическим полем C (½Cv²) и магнитным полем L (½Li²), как маятник переходит между высотой и скоростью. Без сопротивления полная энергия ½CV0² остаётся постоянной.

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Сначала найдите резонансную частоту: ω₀ = 1/√(LC) и f₀ = ω₀/(2π).
  2. Определите, какой контур перед вами, последовательный или параллельный: последовательный Q = (1/R)√(L/C), параллельный Q = R√(C/L).
  3. Для полосы пропускания используйте BW = f₀/Q или краткие формулы R/(2πL) (последовательный) и 1/(2πRC) (параллельный).
  4. В задачах на энергию учитывайте, что полная энергия ½CV₀² в идеальном LC-контуре остаётся постоянной и каждую четверть периода переходит между C и L.
LC-резонанс, добротность и полоса пропускания: какие ошибки самые частые?
  • Путать ω₀ (rad/s) и f₀ (Hz): они различаются в 2π раз.
  • Применять формулу Q для последовательного контура к параллельному, где большее R означает более высокую добротность.
  • Помещать f₀ посередине между f₁ и f₂: это их среднее геометрическое √(f₁f₂).
  • Забывать переводить µH, nF и pF в H и F.
LC-резонанс, добротность и полоса пропускания: что вы тренируете?
  • Лёгкая: собственная частота, добротность и энергия
  • Средняя: последовательный и параллельный RLC
  • Сложная: проектирование, потери и затухание

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Калькуляторы

Калькулятор резонансной частоты (LC и RLC)

Курсы с этой темой

Теория электрических цепей 2: цепи переменного тока

Другие темы: Электротехника

Последовательные и параллельные резисторыМетод наложенияТевенин и НортонМетод узловых потенциаловМетод контурных токовПереходные процессы RC и RLПолное сопротивление и комплексные амплитудыМощность переменного тока и коэффициент мощностиТрёхфазная мощностьТрансформаторыДвигатели постоянного токаСхемы на операционных усилителяхДиоды и транзисторыПреобразователи постоянного напряженияЦифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыМост Уитстона и тензорезисторыСбор данных и дискретизацияПреобразования ЛапласаСтруктурные схемыПереходная характеристикаДиаграммы Боде и запасыУстойчивость: Раус–Гурвиц и корневой годографУстановившаяся ошибка и ПИД-регулированиеСвёртка и линейные стационарные системы

Лист заданий для печати

LC-резонанс, добротность и полоса пропускания: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияЗанимайтесь сейчас: LC-резонанс, добротность и полоса пропусканияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.